线性代数一讲矩阵的概念与运算.pptVIP

二、矩阵的运算——矩阵的转置 上页 下页 铃 结束 返回 首页 补充例题 矩阵的乘法? 设A?(aij)m?s? B?(Bij)s?n? 则规定AB?(cij)m?n? 其中 cij?ai1b1j?ai2b2j? ??? ?aisbsj (i?1? 2? ??? ? m；j?1? 2? ???? n)? 解 ?32 16 ?16 8 0 0 0 0 本例说明? 乘法一般不满足交换律? 从AB?O一般不能推出A?O或B?O? 从A(X?Y)?O一般不能推出X?Y? 下页 矩阵的乘法? 设A?(aij)m?s? B?(Bij)s?n? 则规定AB?(cij)m?n? 其中 cij?ai1b1j?ai2b2j? ??? ?aisbsj (i?1? 2? ??? ? m；j?1? 2? ???? n)? 解 3 1 1 0 3 1 1 0 显然AB?BA? 如果两矩阵A与B相乘? 有AB?BA? 则称矩阵A与矩阵B可交换? 矩阵乘法的性质 (1)(AB)C?A(BC)? (2)?(AB)?(?A)B?A(?B)? (其中?为数)? (3)A(B?C)?AB?AC? (B?C)A?BA?CA? 单位矩阵在矩阵乘法中的作用 容易验证 EmAm?n?Am?n? Am?nEn?Am?n? 或简写成EA?AE?A? 可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1? 矩阵乘法的性质 (1)(AB)C?A(BC)? (2)?(AB)?(?A)B?A(?B)? (其中?为数)? (3)A(B?C)?AB?AC? (B?C)A?BA?CA? 纯量矩阵在矩阵乘法中的作用 矩阵?E?diag(?? ?? ? ? ?? ?)称为纯量阵? 由(?E)A??A? A(?E)??A? 可知纯量阵?E与矩阵A的乘积等于数?与矩阵A的乘积? 当A为n阶方阵时? 有 (?En)An??An?An(?En)? 这表明纯量阵?E与任何同阶方阵都是可交换的? 应注意的问题? 只有当A与B可交换时? 才有 (AB)k?AkBk? (A?B)2?A2?2AB?B2? (A?B)(A?B)?A2?B2? 矩阵的幂 矩阵的幂的运算规律 其中k、l为正整数? A 是一个n 阶矩阵, k 是一个正整数,规定 对于两个 n 阶矩阵 A与 B，一般说 矩阵的幂 A 是一个n 阶矩阵, k 是一个正整数,规定 例 解一 解二 例 已知线性方程组 如果记 那么上述线性方程组可记成 于是 转置矩阵的定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵? 叫做A的转置矩阵? 记作AT? 下页 1 2 0 3 ?1 1