线性代数三三节.pptVIP

基本概念 主要内容 线性方程组有解的条件 线性方程组解的几何意义 举例 第 三 节 线性方程组的解 线性方程组的求解步骤 两个基本定理 一、基本概念 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方程组 (1) 式可以写成以向量 x 为未知元的向量方程 Ax = b , (2) 以后线性方程组 (1) 与向量方程 (2) 将混同使用而 不加区分，解与解向量的名称亦不加区别. 线性方程组 (1) 如果有解，就称它是相容的， 如果无解，就称它不相容. 利用系数矩阵 A 和增 广矩阵 B = (A , b) 的秩，可方便地讨论线性方程 是否有解 (即是否相容) 以及有解时解是否唯一等 问题. (i) 无解的充要条件是 R(A) R(A，b) ; 定理 3 n 元线性方程组 Ax = b 二、线性方程组有解的条件 (ii) 有唯一解的充要条件是 R(A) = R(A，b) = n ; (iii) 有无穷多解的充要条件是 R(A) = R(A，b) n . 三、线性方程组的求解步骤 对于线性方程组 Ax = b 当 R(A) = R(B) n 时, 由于含 n – r 个参数的解 可表示线性方程组 的任一解， 因此解 (4) 称为线性方程组 (1) 的通解. 定理 3 的证明过程给出了求解线性方程组的 步骤，归纳如下： 从而也可表示线性方程组 的任一解， Step1 对于非齐次线性方程组，把它的增广 矩阵 B 化成行阶梯形，从中可同时看出 R(A) 和 R(B) . 若 R(A) R(B) ，则方程组无解. Step2 若 R(A) = R(B) ，则进一步把 B 化成行 最简形. 而对于齐次线性方程组，则把系数矩阵 A 化成行最简形. 由未知量分别等于 c1 , c2 , ··· , cn – r ，由 B ( 或 A ) 的行最简形，即可写出含 n – r 个参数的通解. Step3 设 R(A) = R(B) = r ，把行最简形中 r 个 非零行的非零首元所对应的未知量取作非自由未知 量，其余 n – r 个未知量取作自由未知量，并令自 单击这里开始 例 10 求解齐次线性方程组 四、举例 例 11 求解非齐次线性方程组 单击这里开始 例 12 求解非齐次线性方程组 单击这里开始 例 13 设有线性方程组 问 k 取何值时，此方程组 (1) 有唯一解；(2) 无解; (3) 有穷多个解？并在有无穷多解时求其通解. 设有三元非齐次线性方程组 五、线性方程组解的几何意义 下面我们来讨论一下三元非齐次线性方程组 解的几何意义. (2) 有唯一解 这时方程组中的 m 个方程所 该方程组有唯一解 则方程组的解有以下三种情况: (1) 无解 这时方程组中的 m 个方程所表示的 平面既不交于一点, 也不共线. 表示的平面交于一点. 例如 如图 3.1 . 2x-y=-3 3x+2z=-1 x-3y+2z=4 图 3.1 交直线所确定. (3) 有无穷多组解 这时又可分为两种情形: 情形一 R(A) = R(B) = 1, 即保留方程组只有 一个方程, 则有两个自由变量, 其通解中含有两个 任意常数, 通解形式为 x = c1?1 + c2?2 + ?? , (c1 , c2 为任意常数). 这时方程组的所有解构成一个平面, 而这个平面是 由过点 ?? 且分别以 ?1 ，?2 为方向向量的两条相 例如, 设保留方程组为 x + y + z = 3, 则可求得其通解为 则过点 P(1,1,1) 分别以 (1,-1,0)T , (1,0,-1)T 为方向 则这两条相交直线L1 , L2 所确定的平面的方程即 向量的两直线的方程分别为 为 x + y + z = 3 . 如图 3.2 . 图 3.2