河北师大点集拓扑第七章初步.pptVIP

定理7.2.7 设X是一个正则 空间.如果A是X中的一个紧致子集,U是A的一个开邻域,则存在A的一个开邻域V使得 . 定理7.2.8 从紧致空间到Hausd?rff空间的任何一个连续映射都是闭映射． 作业：1,2,3 §7.3 n维欧氏空间Rn中的 紧致子集 定义7.3.1 设 是一个度量空间， ．如果存在实M0使得 对于所有 成立，则称A是X的一个有界子集；如果X本身是一个有界子集，则称度量空间 X 是一个有界度量空间. 定理7.3.1 紧致度量空间 是有界的. 继续 定理7.1.6 每一个拓扑空间 必定是某一个紧致空间的开子空 间 紧致空间常见问题： 有限个紧致子集的并集是否紧致子集？ 两个紧致子集的交是不是紧致子集？ 任何一族紧致闭子集的交是否紧致子集？ （习题4） X=R×{0,1},其中｛0,1｝取平凡拓扑；则X为积空间， 令A＝((0,1] ×{0}）∪{(0,1)} B= ([0,1) ×{0}）∪{(1,1)} 则A,B都是X的紧致子集，但A∩B却不是X的紧致子集。 （习题5） 作业:4，10 §7.2 紧致性与分离性公理 定理7.2.1 设X是一个 Hausd?rff空间． 如果A是X的一 个不包含点x的紧致子集，则点 x和紧致子集A分别有开邻域U 和V使得U∩V＝ . A x y Uy Vy 紧致子集和闭集的关系 紧致空间: Hausd?rff空间: 紧致Hausd?rff空间: 图示 A x U V 定理7.2.5 设X是一个Hausd?rff空间．如果A和B是X的两个无交的紧致子集，则它们分别有开邻域U和V使得U∩V＝ ． 推论7.2.6 每一个紧致的 Huasd?rff空间都是T4的 * * * * * * * * §7.1 紧致空间 §7.2 紧致性与分离性公理 §7.4 几种紧致性以及其间的关系 §7.3 n维欧氏空间Rn 中的紧致子集 §7.5 度量空间中的紧致性 §7.6 局部紧致空间，仿紧致空间 §7.1 紧致空间 定义7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间． 每一个紧致空间都是Lindel?ff空间. 但反之不然， 例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindel?ff空间,但它不是一个紧致空间． 紧致空间 Lindel?ff空间 定义7.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集． 定理7.1.1 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集． 则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖． Y X 证明：必要性 设Y是拓扑空间X中 的一个紧致子集，A 是Y的一个覆盖， 它由X中的开集构成． 则 也是Y的一个覆 盖且由Y中的开集构成.由于Y是X的一 个紧致子集,从而 有一个有限子覆 盖,设为 . 故A 有限子族 覆盖Y. 充分性 设每一个由X的开集 构成的Y的覆盖都有一个有限子 覆盖. Y X A UA 设A 是Y的一个开覆盖，则对于 每一个 存在X中的一个开 集 ,使得 . 从而 是由X中的开集 构成的Y的一个覆盖,所以有一个 有限子覆盖，设为 易见A 的子族 覆盖Y. 定义7.1.3 设A 是一个集族．如果A 的每一个有限子族都有非空的交(即如果 是A 的一个有限子族,则 )， 则称A 是一个具有有限交性质的集族． 定理7.1.2 设X是一个拓扑 空间．则X是一个紧致空间当 且仅当X中的每一个具有有限 交性质的闭集族都有非空的交. 定理7.1.3 设B 是拓扑空间X的一个基，并且X的由B 中的元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖．则X是一个紧致空间．