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第二章 静电场 电动 力学 第一步：分析题意，找出定解条件。 第二步：写出通解 分离变量法基本步骤： 第三步：根据定解条件确定待定常数 复习 §2.4 镜 象 法 Method of images 重点掌握 1. 镜象法的基本概念 2. 求解电势的基本方法 1. 求解泊松方程的难度 、镜象法的概念和适用条件 Q Q 2. 以唯一性定理为依据 导体面上感应电荷 分布等效地看作一个或 几个点电荷来给出尝试 解。 Q Q Q Q 3. 镜象法概念、适用情况 镜象法： 用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。 注意：a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即 自由点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在所 求区域之外。 b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定 假想电荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。 适用情况： a) 所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以 用假想点电荷代替。 b) 导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。 c) 给定边界条件 二、镜象法的具体应用 b) 根据给定的边界条件计算象电荷的电量和所在  位置； c) 由已知电荷及象电荷写出势的解析形式； d) 根据需要要求出场强、电荷分布以及电场作用  力、电容等。 用镜象法解题大致可按以下步骤进行 ： a) 正确写出电势应满足的微分方程及给定的边界  条件； 应用举例 1. (P53)接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。 Q Q/ Q Q/ 解：根据唯一性定理左半空间 球外空间，Q在（0，0，a）点， 电势满足泊松方程。 边界上 从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左, 经Q垂直 于导体板的垂线上放一个假想电荷Q?，然后把导体板抽去。这样没有 改变所考虑空间的电荷分布（即没改变电势服从的泊松方程） P 设电量为 ，位置为（0，0， ） 由边界条件确定 和 、 唯一解是 因为象电荷在左半空间，所以舍去正号解。 Q Q/ Q Q/ P 讨论：（a）导体面上感应电荷分布 Q （c）导体对电荷Q 的作用力相当两点电荷间的作用力 （b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上, 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在右半空间完全相同。 （d）镜象法的图形与光路用此图比较： Q‘ Q b a 根据光的反射可找到Q的大小和位置 但要注意： 光线是直线传播到导体板面上的。有的地方是与板面⊥，有的地方是与板面有一定夹角；但电力线切线方向是场强的方向，电力线在板面附近处处与板面⊥，这一点通过静电平衡原理可知。 Q与Q位置对于导体板镜象对称，故这种方法称为镜象法（又称电象法）. 导体板上部空间的电场可以看作原电荷与镜象电荷共同激发的电场。场点P的电势 导体板上的感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q’代替。 可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是一种求解泊松方程的简洁方法。 解：（1）唯一性条件：导体球接地故球的电势为零。 (P54)真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。 O Z 球外空间，Q点处，电势满足泊松方程。 根据镜象法原则假想电荷应在球内。因空间只有两个点电荷，场应具有轴对称，故假想电荷应在线上，即极轴上。 O Z P R 球坐标系 （2）由边界条件确定 和 设 O Z O Z P R 球坐标系 P R0 O Z 因 任意的 解得 ① ② O Z O Z P R O Z O Z P R （3）讨论： ① 球面感应电荷分布 导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为电荷 移到地中去了。 O Z O Z P R ② ，因此Q发出的电力线