次向量与线性方程组.pptVIP

* * 第二章 向量与线性方程组 2.1 向量及其运算 2.2　向量的线性关系 2.3　向量组与矩阵的秩 2.4 齐次线性方程组 2.5 非齐次线性方程组 第一节 向量及其运算 由n个数组成的有序数组称为向量 行向量 列向量 分量都是零的向量称为零向量，记为0 行（列）向量可以看作只有一行（列）的矩阵 向量的线性运算 与矩阵的加减法和数乘运算法则相同，向量的加减和数乘只要把对应分量进行加减和数乘 解 答 向量的加减和数乘运算统称为向量的线性运算， 八条运算律 第二节 向量的线性关系 一般地，向量指列向量 简省空间的记法 解 答 改写成分量等式 向量的线性组合 设 为n维向量， 如果存在 满足 例 设 解 考虑方程 其分量形式为 第一，三两方程显然相互矛盾，故无解 例 设 解 考虑方程 其分量形式为 该方程组的系数行列式显然不为零，故有解。 定义 称全体n维向量组成的集合为n维向量空间，记为 在 中，称向量 …… 为n维基本向量。 设 向量组的线性相关性 定义 给定向量组S: 如果存在不全为零 的实数 使 则称向量组S线性相关；否则称S线性无关。 (1) 例 判断向量组 的相关性 解 通过观察 线性相关 线性相关的等价叙述 设有n维向量组S： 有非零解 线性相关。 如果方程 否则如果方程只有零解 向量组 线性无关 向量组 例 讨论向量 的相关性 解 考虑方程 由于方程组 的系数行列式 方程组 只有零解。 线性无关 定理 设有n维向量组 如果方阵 的行列式 则该向量 组线性无关。 证明 考虑方程 由于系数行列式 由克莱姆法则的推论 方程 只有零解。 定理 如果n维向量组 线性无关， 则行列式 推论 设有n维向量组 如果行列 式 则该向量组线性 相关。 定 理 向量组 线性相关 组内某一向量可由其余向量线性表示 证明 必要性 设向量组 线性相关，则存在 不全为零的数 使得 不妨设 于是有 充分性 不妨设 可由 线性表示，即设 不全为零。 线性相关的一些命题 含有零向量的向量组，总是线性相关的。 2.含有相同向量的向量组，总是线性相关的。 注：单个零向量构成的向量组线性相关。单个非零向量是线性无关的。 3.线性相关的向量组添加若干向量后，仍是线性相关的。 设存在不全为零 推论： 线性无关向量组的部分向量组，仍是线性 无关的。（命题3的逆否命题） 反证法： 设线性无关向量组 组S线性相关。由此部分向量组S扩充，得到 由命题3， 线性相关。