极限存在准则及两个重要极限初步.PPTVIP

第五节 一、 函数极限与数列极限的关系及夹逼准则 定理1. 假定当 定理1. 例1. 证明 例2. 证明 Dirichlet 函数 D(x) 在任一点 2. 函数极限存在的夹逼准则 二、 两个重要极限 注 例3. 求 例5. 求 例7. 求 2. 例8. 求 例9. 求 例10. 求 内容小结 2. 两个重要极限 思考与练习 * 二、 两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限存在准则及 两个重要极限 第二章 1. 函数极限与数列极限的关系 定理1. 有定义, 为确定起见 , 仅讨论 的情形. 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有定义, 且 设 即 当 有 有定义 , 且 对上述 ? , 时, 有 于是当 时 故 可用反证法证明. 有 证： 当 “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不以A为极限.这是指:存在某 一正数 取多么小,总可以找到一个 , 虽然 但 现取 根据上面所说,恒能找到相应的一串数 使得 从左边一列可以看出 而右边一 列却说明数列 不以A为极限,这与假设矛盾.证毕. 有定义 且 有 说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列 不存在 . 法2 找两个趋于 的不同数列 及 使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不存在 . 证: 取两个趋于 0 的数列 及 有 由定理 1 知 不存在 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 都不存在极限 . 证: 根据Dirichlet函数D(x)的定义，当我们分别取以 为极限的有理数列 和无理数列 时（由于它们的稠密性，这总是能够做到的），则有 定理2. 且 ( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 圆扇形AOB的面积 证: 当 即 亦即 时， 显然有 △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 注 目录 上页 下页 返回 结束 当 时 解: 例4. 求 解: 令 则 因此 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 例6. 已知圆内接正 n 边形面积为 证明: 证: 说明: 计算中注意利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 作代换 则 故 证: 当 时, 设 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 则 从而有 故 说明: 此极限也可写为 时, 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 说明 ：若利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 原式 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 的不同数列 1. 函数极限与数列极限关系的应用 (1) 利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准则 法1 找一个数列 且 使 法2 找两个趋于 及 使 不存在. 函数极限存在的夹逼准则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 注: 代表相同的表达式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *