极限的性质和运算法则初步.PPTVIP

* 第三节 极限的性质和运算法则 复习：先进一步理解极限的概念： 1、数列的极限 变量Y以A为极限：不管你事先指定的一个数多么小，（刻画Y与A的接近程度）在Y的变化过程中，总能找到一个时刻，自这个时刻以后，Y与A的接近程度比你事先指定的那个数还要小。 显然，你指定的数越小，总能找到的N就越向后面去…（越大） 所有极限概念一律用下面一段话来理解： 你事先指定的 越小，你找到的 也越大 M -M A M A -M A 0 X Y A 你事先指定的 越小，你找到的 也越小 （ ） 二、收敛数列的性质 性质1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛? 那么它的极限唯一? 性质2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛? 那么数列{xn}一定有界? 性质3(收敛数列的保号性) 如果数列{xn}收敛于a, 且a?0(或a?0)? 那么存在正整数N? 当n?N时? 有xn?0(或xn?0)? 推论 如果数列{xn}从某项起有xn?0(或xn?0)? 且数列{xn}收敛于a? 那么a?0(或a?0)? 性质1(函数极限的唯一性) 性质2(函数极限的局部有界性) 如果f(x)?A(x?x0)? 那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界? 性质3(函数极限的局部保号性) 如果f(x)?A(x?x0)? 而且A?0(或A?0)? 那么在x0的某一去心邻域内? 有f(x)?0(或f(x)?0)? 如果当x?x0时f(x)的极限存在, 那么这极限是唯一的? 如果在x0的某一去心邻域内f(x)?0(或f(x)?0)? 而且 f(x)?A(x?x0)? 那么A?0(或A?0)? 推论 函数极限的性质 (2)lim f(x)?g(x)=lim f(x)?lim g(x)=A?B? 推论1 如果lim f(x)存在? 而c为常数? 则 lim[c?f(x)]=c?limf(x)? 推论2 如果limf(x)存在? 而n是正整数? 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n ? 法则一 如果 lim f(x)=A? lim g(x)=B? 那么 极限的四则运算法则 (1)lim[f(x)?g(x)]=limf(x)?limg(x)=A?B? 数列极限的四则运算法则 推论4：如果j(x)?y(x)? 而limj(x)=a? limy(x)=b? 那么a?b? 不等式 推论3：设有数列{xn}和{yn}? 如果 那么 求极限举例 例1 解 例2 解 解 例3 解 例4 消去“零”因子 极限不存在 讨论 提示 当Q(x0)?P(x0)?0时? 约去分子分母的公因式(x?x0) ? 先用x3去除分子及分母? 然后取极限? 解 先用x3去除分子及分母? 然后取极限? 例5 解: 例6 讨论 提示 例7 解 *