复旦修订版刘金旺向量组与向量空间.pptVIP

第三章 向量与向量空间 ;§1 n维向量 ;数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。 ;定义2 如果 和 对应的分量都相等，即 ai=bi，i=1,2,…,n 就称这两个向量相等，记为 。 ;定义4 分量全为零的向量 （0，0，…，0） 称为零向量，记为0。 与-1的数乘 （-1） =（-a1,-a2,…,-an） 称为 的负向量，记为 。;满足（1）—（8）的运算称为线性运算。;§2 线性相关与线性无关 ;定义5 向量组 称为线性相关的，如果有不全为零的数k1,k2,…,ks，使;当 为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵 ，使 ;若所给向量均为行向量，则有;例 判断向量组;例 　设向量组 线性无关， ， ， ，试证向量组 也 线性无关。 ;定理1 向量组 （s≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。 ;例如，向量组 ;定理2 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能由向量组 线性表出，且表示式是唯一的。 ;设;定义7 如果向量组 中每个向量都可以由 线性表出，就称向量组 可由 线性表出，如果两个向量组互相可以 线性表出，就称它们等价。;向量组 中每一个向量都可以经向量组 线性表出。因而，向量组 可以经向量组 线性表出。 ;向量组的等价具有下述性质： ;§3 线性相关性的判别定理 ;定理4 设p1,p2, …,pn为1，2，…，n的一个排列， 和 为两向量组，其中 ;上两式只是各分量的排列顺序不同，因此 ;(2)如果 线性无关， 那么 也线性无关。 ;利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。;引理1 如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列)向量组线性相关。;定理8 如果向量组 可由 线性表出且st，那么 线性相关。 ;;回顾：矩阵的秩;向量组的秩的概念;定义8 设存在向量组a1 ,a2, …as 的一个部分组;满足：;性质1 一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。;定义9 向量组a1,a2, …,as 的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为;引理 设a1,a2,…,ar是r个n维向量(r≤n),则a1,a2,…,as;§5 向量空间 ;定义16 如果V1和V2都是向量空间且 ,就称V1是V2的子空间。 ;如果把向量空间V看作向量组，那么V的基就是它的极大线性无关组，V的维数就是它的秩。当V由n维向量组成时，它的维数不会超过n。 ;且存在有限个初等矩阵P1，P2，…，Pl，使得 P1P2…PlA=E, 　　 (1) 则A-1=P1P2…Pl ;　（１）说明A经过有限次初等行变换变成E;返回;所以