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主要内容浏览式总复习 第一章、复数与复变函数 复数: 复数的四则运算: 复平面: 复平面: 复数的三角表示: 基本不等式: 例1??试用复数表示圆的方程: 例2?? 设 、 是两个复数，证明： 三角表示的乘法： 三角表示的乘法： 欧拉公式；指数表示式；三种表示式的互化:关键是会用 表示幅角。 复数的乘幂： 复数的乘幂： 例5、求所有值： 解：由于 复球面与无穷大: 无穷远点: 对应于球极射影为N，我们引入一个新的非正常复数无穷远点， 无穷远点: 关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于： 第一章、复数与复变函数 1.3 平面点集与区域 初步概念: a的r邻域U(a,r) ： 极限点、内点、边界点: 中有无穷个点，则称a为的E极限点； 闭包、孤立点、开集、闭集: 称为D的闭包，记为 无穷远点的邻域: 对一切r0,集合 区域、曲线: 复平面C上的集合D，如果满足： （1）、D是开集； （2）、D中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的所有点完全属于D。 则称D是一个区域。 连通性: 性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。 区域D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。 曲线: 设已给 若尔当定理: 若尔当定理：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。 光滑曲线: 光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在[a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线为一条光滑曲线； 类似地，可以定义分段光滑曲线。 区域的连通性: 单连通区域;多连通区域。 例5、在扩充复平面上，集合 为单连通的无界区域，其边界为 第一章 复数与复变函数 1.4-1.5 复变函数 复变函数的定义: 注3、复变函数等价于两个实变量的实值函数： 若记 z=x+iy， w=Ref(z)+iImf(z)=u(x,y)+iv(x,y)， 则f(z)等价于两个二元实变函数u(x,y)和v(x,y) 。 函数的几何意义: 函数f也称为从E到C上的一个映射或映照。 函数的几何意义: 单射，双射，一一对应，反函数。 复变函数极限的定义 复变函数极限与实值函数极限 复变函数连续性的定义 复变函数连续性与实值函数连续性的关系 例6 第二章 解析函数  2.1-2.2  解析函数概念及充要条件 导数 解析 Cauchy-Riemann方程 解析的充要条件 2.3 初等函数 (1)指数函数与对数函数 指数函数的定义： 指数函数的基本性质 对数函数的定义： 对数函数的主值： 三种对数函数的联系与区别： 对数函数的基本性质 2.3 初等函数 (2)三角函数与反三角函数 三角函数的概念: 三角函数的基本性质: 三角函数的基本性质: cosz和sinz以 为周期,零点也与实的一样. 三角函数的基本性质: 三角函数的基本性质: 其它三角函数 反三角函数  2.3初等函数 （3） 幂函数　　　 双曲、反双曲函数 幂函数的定义: 幂函数的基本性质： 幂函数的基本性质： 幂函数的基本性质： 双曲函数 反双曲函数计算公式的推导方法类似于反三角函数  第三章 复变函数的积分 3.1复积分的概念 复变函数积分的定义  定义 设w=f(z)定义于有向曲线C上.  任取分点 A=z0, z1, ..., zk-1, zk , ..., zn=B 任取点?k, 容易看出, 当C是x轴上的区间a?x?b, 而f(z)=u(x)时, 这个积分定义就是一元实函数定积分的定义. 积分存在的条件及计算积分的方法 由于u, v连续, 根据线积分的存在定理, 上式右端两个和式极限存在. 因此有 又由于上式右端可以写成 例3.1 计算 例3.2 计算 [解] C的方程可写作 z=z0+reiq, 0?q?2p, dz=ireiqdq 所以 积分的性质 (1)-(3)由线积分的相应性质得. 小结 以上讲了 §3.2- 3.4 柯西定理