地理系统要素关系的主成分分析.pptVIP

第八章 地理系统要素关系的主成分分析 主成分分析的概述 主成分分析的基本原理 矩阵的特征值与特征向量 主成分分析的解法 主成分分析应用实例 §1 主成分分析的概述 一、问题的引出 地理环境是多要素的复杂系统，在我们进行地理系统分析时，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。 二、思考 因此，我们就会很自然地想到，能否在各个变量之间相关关系研究的基础上，用较少的新变量代替原来较多的变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来较多的变量所反映的信息？ 三、概述 主成分分析是把原来多个变量化为少数几个综合指标的一种统计分析方法，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。 §2 主成分分析的基本原理 一、主成分分析的意义 概念 ~是把原来多个指标化为少数几个综合指标的一种统计方法。是一种数学的排序方法。 目的 将原来的一组变量（指标）变换成另外一组分量的变量； 把具有许多变量的高维空间通过数学方法变换成较低维的空间。 §2 主成分分析的基本原理 一、主成分分析的意义 假设 n个地理区域，p个指标，则有np个观测数据。 用较少的综合指标代表原来较多的指标 能尽量多的反映原有信息； 彼此之间独立。 选取原则：原指标的线性组合。 §2 主成分分析的基本原理 二、主成分分析的数学模型 原始数据矩阵 §2 主成分分析的基本原理 二、主成分分析的数学模型 §2 主成分分析的基本原理 二、主成分分析的数学模型 则称z1、z2是原指标x1、x2的主成分。 若长轴方向反映整个信息的75%，则z1就是x1和x2的综合指标。 §2 主成分分析的基本原理 二、主成分分析的数学模型 长轴为第一主成分z1 ，短轴为第二主成分z2 数据点对于原指标和对主成分的值分别为： §2 主成分分析的基本原理 二、主成分分析的数学模型 若有p个指标x1，x2，…，xp，综合成m个指标z1，z2，…，zm(m≤p)，可表示为： §2 主成分分析的基本原理 二、主成分分析的数学模型 系数lij的决定原则： zi与zj（i≠j，i,j=1,2,…,m）互相无关； z1是x1,x2,…,xp的一切线性组合中方差最大的； z2是与z1不相关的 x1,x2,…,xp的所有线性组合中方差最大的；…；zm是与z1,z2,…,zm-1都不相关的 x1,x2,…,xp的所有线性组合中方差最大的。 z1，z2，…，zm分别称为原指标的第一，第二，…，第m主成分。 §2 主成分分析的基本原理 二、主成分分析的数学模型 从几何上看，找主成分的问题就是找出p维空间中椭球体的主轴问题，就是要在x1~xp的相关矩阵中m个较大特征值所对应的特征向量。 补：矩阵的特征值与特征向量 一、矩阵的特征值 定义：设A为n阶矩阵，λ是一个数，如果方程Ax=λx（1）存在非零解向量，则称λ为A的一个特征值，相应的非零解向量x称为与特征值λ对应的特征向量。 将（1）式改写为 补：矩阵的特征值与特征向量 一、矩阵的特征值 对应的n元齐次线性方程组 补：矩阵的特征值与特征向量 一、矩阵的特征值 λI-A为A的特征矩阵； |λI-A|为λ的n次多项式，称为A的特征多项式； |λI-A|=0称为A的特征方程。 若λ是|λI-A|的ni重根，则λ称为A的ni重特征值（根）。 补：矩阵的特征值与特征向量 例：求矩阵A的特征值与特征向量 补：矩阵的特征值与特征向量 例：求矩阵A的特征值与特征向量 补：矩阵的特征值与特征向量 二、特征值与特征向量的基本性质 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值。 n阶矩阵A互不相同的特征值λ1,λ2,…,λm对应的特征向量x1,x2,…,xm线性无关。 补：随机变量的数字特征 1.均值 离散随机变量ξ可能取的值是x1，x2，…，xn，…设p(ξ=xk)=pk(k=1,2,…)，则称 补：随机变量的数字特征 2.方差 如果随机变量ξ的数学期望Eξ存在，称ξ-Eξ为随机变量ξ的离差。 补：随机变量的数字特征 2.方差 若ξ是离散型变量，则 补：随机变量的数字特征 3.协方差和相关系数 设ξ和η是两个随机变量，则 §3 主成分分析的解法 计算方差及协方差 §3 主成分分析的解法 p阶方阵的特征向量给出椭圆主轴的方向，对应的特征值表示主轴的长度。 主成分分析的实质就是求出方差-协方差矩阵的特征值及其对应的特征向量。 §3 主成分分析的解法 主成分z1，z2的表达式 §3 主成分分析的解法 主成分分析的步骤 1.原始数据的标准化处理 §3 主成分分析的解法 主成分分析的步骤 2.计算相关系数矩阵R §3 主成分分析的解法 主成分分析的步骤 4.计算第k个特征值的贡献率和累计贡献率 §3 主成分分析的解法 主成分分析的步