函数的单调性高等数学.pptVIP

例6. 解： 现列表讨论如下： x 0 y + 不存在 － 0 + y 例7. 解： 例8. 解： 三、函数的最大值和最小值 如何求出函数在某区间上的最大值和最小值？ y x a O b 注1： 函数在某一区间上的最大值和最小值, 也叫全局极值. 可导函数在[a,b]上的最大、最小值的求解步骤： 注2： 例9. 解： 所以函数的最大值是0, 最小值是－2. 例10. 某生产队要建造一个体积为 50 立方米的有盖圆柱形氨水池. 问这个氨水池的高和底半径取多大时，用料最省？ 解：用料最省就是要求氨水池的表面积最小. 设氨水池的底半径是 r, 高是 h, 它 的表面积 h r O 用V＝50立方米代入，得到 答：当圆柱形氨水池的高和直径相等时，用料最省。 四、函数的凸性 是描述函数性状的一个更深入的概念. 例如： y x o 上凸 下凸 几何角度： x y o x y o 1. Def（函数的凸性） 注：函数的凹凸性，下凸即是上凹. 六、教学过程设计 o x y O x y O o 拓展探究：已知函数 是（-∞，+∞）上的增函数，求a的取值范围 何时满足任意性 回归定义 六、教学过程设计 创设情境 引入新课 初步探索 概念形成 概念深化 延伸拓展 证法探究 应用定义 六、教学过程设计 例1：证明函数 在（0，+∞ ）上是增函数 证明：任取 且 ∴函数 在（0，+ ∞）上是增函数 六、教学过程设计 x y y=x2+1 O 1 1 函数的单调性 1、函数单调性定义 定义内容 2、函数单调性证明 例1： 证明过程 断号 设元 变形 作差 定论 六、教学过程设计 例2：判断函数 在（0，+∞）上的单调性 进一步提问： 如果把（0，+∞）条件去掉，如何解这道题？ （作业） 课标中指出“形式化是数学的基本特征之一，但不能仅限于形式化的表达。高中课程强调返璞归真”因此本题不再从证明角度，而是让学生再次从定义出发，寻求方法，并体会转化思想。 六、教学过程设计 创设情境 引入新课 初步探索 概念形成 概念深化 延伸拓展 证法探究 应用定义 小结评价 作业创新 六、教学过程设计 从知识、方法两个方面引导学生进行总结 回顾函数单调性定义的探究过程；证明、判断函数单调性的方法步骤；数学思想方法 六、教学过程设计 作业（1、2、4必做，3选做） 1、证明：函数 在区间[0，+∞)上 是增函数。 2、课上思考题 3、求函数 的单调区间 4、思考P46 探索与研究 结束语 通过本节课的学习预计学生能够理解单调性的含义，绝大多数学生能按照单调性的证明步骤进行证明，能判断函数的单调性。 本节课最后设计了课堂反馈并结合教师评价和学生自评来评价本节课的学习效果。 结束语 x y y=x2+1 O 1 1 函数的单调性 1、函数单调性定义 定义内容 2、函数单调性证明 例1： 证明过程 断号 设元 变形 作差 定论 在情境设置中，严格按照课标要求，以二次函数y=x2+1为例，经历画图、描述图象、找单调区间、形成单调性定义、证明其单调性的过程，将学生对单调性的认识从感性上升到理性，并将定义进行应用。 一、函数的单调性 o o a b a b 从导数的几何意义考察函数的单调性： §3. 函数的升降、凸性与极值 Th. 1 （导数的正负与函数升降的关系） 证明：由极限保号性、中值定理可证. Corollary（严格单调的充分条件）若f (x)在[a,b]连 续，在(a,b)可导，且 不变号，则 注1. Th.1 表明，讨论可导函数的单调性，只须判别 其导数的符号即可，其步骤是: ⑴ 确定 的定义域； ⑵ 求 ，令 求出分界点； ⑶ 用分界点将定义域分成若干个开区间； ⑷ 判别 在每个开区间内的符号，即可 确定 的严格单调性（严格单调区间）. 例1. 讨论 的上升、下降情况. 解：该函数的定义域是 R. 由 它们将 R 分成三个区间： x y + － + y 例2. 解：定义域是 R. 由 现列表讨论如下： x y + － + + y Th. 2 （不等式定理）若 f (x) 与 g(x) 满足条件： (1) 在[a,b]上可导; 注2. 利用函数的升降性及其导数之间