具有某些特殊性的函数过程稿.PPTVIP

* §4 具有某些特殊性的函数 一 有界函数 定义1 设f在D上有定义. 若存在数M,使得 则称f为D上的有上界的函数,M称为f在D上的一个上界. 定义1-1 设f在D上有定义. 若存在数L,使得 则称f为D上的有下界的函数,L称为f在D上的一个下界. 定义2 设f在D上有定义. 若存在数M0,使得 则称f为D上的有界的函数. 例1 存在 使得 故函数 在[-1,1]上有界. 存在 使得 故函数 在 上有界. 命题: f在D上有界 f在D上既有上界,也有下界. 问题: 函数 在R上是否有界? 函数 在R上是否有上界? 在R上是否有下界? 函数 在[-3,5]上是否有界? 问题: 函数 在R上是否有界? 函数 在R上是否有上界? 在R上是否有下界? 函数 在[-3,5]上是否有界? 注: 函数的有界性是相对一定的区域而言的. 如何给出无界的定义? 定义2 设f在D上有定义. 若存在数M0,使得 则称f为D上的有界的函数. 定义2-1 设f在D上有定义. 若对任意M0,总存在 使得 则称f为D上的无界. 例2 证明: 在(0,1]无界. 证: 对任意M0, 取 有 例2 证明: 在(0,1]无界. 证: 对任意M0, 取 有 所以 在(0,1]无界. 例3 设 为D上的有界函数.证明: 证: (ii) 有 所以 例3 设 为D上的有界函数.证明: 证: (ii) 有 所以 即 是 在D上的一个上界,从而 大学的数学,概念很重要!! 二 单调函数 考察函数 与 的图象. 在 单调递增 在 单调递减 在 单调递增 定义3 设f在D上有定义.若 当 总有 则称f为D上的增函数; 则称f为D上的严格增函数; 则称f为D上的减函数; 则称f为D上的严格减函数. 例4 证明 在R上严格增加. 证: 当 时, 即 故 在R上严格增加. 例5 设 f(x)在R上单调增加. 事实上, 当 时, 有 但 在R上不严格单调, 因为若取 则有 但 定理1.2 设 为严格增函数, 则 必有反函数 且 在其定义域f(D)上严格递增. 证明分析: (1) 存在唯一 使得 (2) 在f(D)上严格增. 证: 设 对D中任意 当 时, 当 时, 故对任意 有且只有唯一 使得 即函数 存在反函数 任取 设 则 由 严格增性及 可得 即 故 在f(D)上严格递增. 例6 函数 在 严格单调递少,故存在反函数 在 严格单调递增,故存在反函数 但在 不存在反函数. 定义2 给定实数 当x为无理数时,规定 例7 证明函数 当a时 严格单调递增,当a1时严格单调递减. 分析: 要证当 时,有 定义2 给定实数 当x为无理数时,规定 例7 证明函数 当a时 严格单调递增,当a1时严格单调递减. 分析: 要证当 时,有 即要证 由有理数的稠密性,可取到有理数 使 所以 注意到 即可证. 三 奇函数和偶函数 定义 设D为对称于原点的数集.f为定义在D上的函数.若 有 则称f为D上的奇函数 (偶函数). 例8 函数 为区间 上的偶函数. 函数 为区间 上的奇函数. 偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称. 例9 设 定义在 上,证明 为偶函数. 证: 所以 为偶函数. 四 周期函数 定义 设 为定义在数集D上的函数. 若存在 使得对任意 有 则称f为周期函数, 为f的一个周期. 若 为f的一个周期, 则 (n为正整数)也是f的周期. 若f存在最小周期,则称此周期为f的基本周期,简称周期.