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统计学原理 主编：刘晓利 北京大学出版社、中国林业出版社 第六章 平 均 指 标 第一节 平均指标概述 第二节 算术平均数 第三节 调和平均数 第四节 几何平均数 第五节 众数和中位数 第六节 各种平均指标之间的相互关系 第一节 平均指标概述 一、 平均指标的概念和特点 概念：平均指标是反映总体各单位某一数量标志值一般水平的综合指标，又称统计平均数。 特点： (1) 平均指标是一个代表性的数值，说明总体各单位某一数量标志值的一般水平。 (2) 平均指标是一个抽象化的数值，把总体单位某一数量标志上的差异抽象掉了。 二、 平均指标的作用 1．平均指标可以反映现象总体的综合特征 2．平均指标可以反映总体各单位变量值分布的集中趋势 3．平均指标经常用来揭示现象在不同时间的发展趋势 4．平均指标可以用于分析现象之间的依存关系 5．平均指标在抽样推断中是一个重要指标 三、 平均指标的种类 1．按所反映现象的时间状态分类 可以分为静态平均数和动态平均数两种。 2．按计算和确定的方法分类 可以分为算术平均数、调和平均数、几何平均数、众数和中位数五种。 第二节 算术平均数 一、 算术平均数的基本形式 算术平均数的基本形式是总体标志总量与总体单位总量之比。 二、 简单算术平均数 式中 ——算术平均数； ——各单位的标志值； n——总体单位数。 【例6.1】 某村民小组有10户农民，每户人口分别为2人、3人、5人、7人、6人、5人、4人、6人、8人、4人，则平均每户人口数为： 三、 加权算术平均数 简单算术平均数是根据总体各单位标志值的原始资料，通过直接加总的方式计算总体标志总量，进而计算算术平均数的方法。简单算术平均数主要适用于未分组资料。 式中 ——各组变量值； ——各组次数，也称为权数 【例6.2】 某车间工人按日产量分组资料如表6-1所示。 【例6.3】某储蓄所某年年末为120个贷款户贷款情况 四、 算术平均数的数学性质 【性质1】 算术平均数与总体单位数的乘积等于各变量值的总和。 对于未分组资料，这个数学性质可写成： 对于分组资料，这个数学性质可写成： 【性质2】 各变量值与其算术平均数的离差之和等于零。即 未分组资料： 分组资料： 【性质3】 各变量值与其算术平均数的离差平方之和为最小值。即 未分组资料： 分组资料 【性质4】 如果每个变量值都增加或减少任意常数A，则平均数也要增减这个数A。 未分组资料： 分组资料： 【性质5】 如果每一个变量值都乘以或除以任意常数A，则平均数也要乘以或除以这个数A。 未分组资料： 分组资料： 第三节 调和平均数 概念：它是标志值的倒数的算术平均数的倒数，又称为倒数平均数。 一、 简单调和平均数 简单调和平均数是先计算总体单位标志值倒数的简单算术平均数，然后求其倒数。主要用于未分组资料。 计算公式： 式中 H——调和平均数； ——各总体单位标志值； ——总体单位数。 【例6.8】 早市上某种蔬菜的价格为0.5元/斤，中午市场价格为0.4元/斤，晚上市场价格为0.25元/斤，现在市场上早、中、晚各买1元钱的菜，求平均价格。 二、 加权调和平均数 式中 ——权数，即各组的标志总量。 【例6.9】 仍用工人日产量资料说明如表6-6所示。 三、 相对指标和平均指标平均数的计算 1．由相对指标计算平均数 【例6.11】 设某公司下属3个企业的产值资料如表6-8所示。 2．由平均指标计算平均数 【例6.12】 某企业两车间生产同种产品产量和成本资料如表6-9所示。 【例6.13】 某企业两车间生产同种产品产量和成本资料如表6-10所示。 表6-10 某企业车间产品成本 第四节 几何平均数 概念：几何平均数是另一种平均指标，是个变量值连乘积的 次方根，用字母 表示。 适用范围：适用于计算平均比率和平均速度 应用条件： ①若干个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度。②相乘的各比率或速度不得为负值。 一、 简单几何平均数 简单几何平均数适用于计算未分组资料的平均比率或平均速度，其公式为： 【例6.14】 某企业有5个流水作业的车间，1月份第一车间产品合格率为98%，第二车间产品合格率为96%，第三车间产品合格率为95%，第四车间产品合格率为94%，第五车间产品合格率为92%。试求该厂1月份平均产品合格率。 二、 加权几何平均数 加权几何平均数