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对古埃及型分数表拆分规律的研究 杨春宏（河北师范大学数学与信息科学学院 050016） 1 引言 关于古埃及人的分数表一直是一个有趣和具有吸引力的问题.曾有许多学者提出种种学说来解释它的来源[1].在古埃及,单分数出现的直接起因必为分配所致[2],凡涉及除法以及分配的结果最终都以单分数表示出来,这是因为可以为具有简单的分配操作意义。形如的分数表的出现，具有3方面的意义： 古埃及人习惯上把运算结果表示成若干单分数的和。如.由于过程冗长、繁琐，且非所有的人都知道，所以，它的意义首先在于对分配结果的记载。 在多人参与分配的情形，先计算，然后加倍得，或者按照，，，…的方式完成分配,无疑是一个体现智慧的方案.照这样推测,意味着埃及人已经可以将一个正整数表示成2的幂多项式形式，即，其中或1，.进一步就有.这样，在分配结果的单分数表示中的拆分数就成为根本的基础[3]。这完全符合埃及人用加倍方法做乘法或做除法的思路，是对那种方法法发展。 分数表只列出了分母在5~101（单数）的的表示结果，然而在规模不大的分配中，它已经足够使用了。所以，作为具有多种用途、方便实用的基础分数表，它是埃及人的一项创造性成就。 鉴于目前对拆分方法的种种不同解释[1,4]，本文拟就分数表的拆分方法进一步展开研究，试图对其拆分结果给出算法上的分类揭示。 2 3种相关的拆分方法 型分数的拆分方法并不是唯一的，拆分结果可以分成2个、3个或更多的单分数之和，而纸草书中仅列出一种，分解的不唯一性恰恰反映出当时制作分数表的复杂性，我们首先对3种相关的拆分方法进行研究。以便对分数表的结果做出算法的揭示。 2.1 约数拆分法 在分解中，当分母为合数时可以实现简单拆分，这在有关文献中都曾提及过。我们把它表述为： 定理1 设奇数的两个约数为和，那么=. 我们把定理1所指示的拆分方法叫做“约数拆分法”。只要对分母的约数适当作两两组合，采用约数拆分法拆分，就有一个结果与分数表的结果相同。可以认为这是埃及人的一类（分母为合数）分解结果的方法来源。在埃及人的拆分中对质数的情形一般不使用此法，尽管对质数也使用。 2.2 原始拆分法 下面我们给出的一个拆分法则，可对分母为质数的型分数提供一种有效的拆分。当然，它对分母为合数的情况也是同样适用的。它的依据是： 定理2 设是大于2的质数，,.如果,,. , ,那么，这里. 该定理可提供一种拆分方法。其基本思想是：为使拆分结果的项数较少，（埃及人的结果不超过4项），先将“1”分成多少“份”（使每人分得一份）是首要问题；第二，为进一步拆分，应设法保证各取走一份后，所剩下的份数可以表示成“分母”的约数之和，进而完成单分数拆分。这种方法与原始分配有很大关系，所以，我们把这种方法叫做“原始拆分法”。例如： , . 因为在实际拆分中，要兼顾项数较少、分母较小、计算简单等诸多因素，所以在开始将“1”分成多少份，具有试探性。而且会遇到将“1”分成某“份数”分配后，剩下的“份数”不能表示成“分母”的约数之和，使拆分不能在2~4项内结束的情况，但这并不是说该分数不可继续差分下去。从理论上讲，任何真分数都可拆分成若干个单分数的和[5]。 2.3 指定扩分拆分法 这种拆分方法也是针对分母为质数型的拆分而探索的，它受到过原始分配中操作过程的启发。让我们观察以下的拆分： ,这个拆分结果中出现了这一项，其分母与原分母相同。这使我们联想到分数表中的拆分中出现“”，这在其他的拆分中是没有过的。一般的，拆分结果的“首项的分母”都比原分数的分母小一些。因此，它绝不是先从中分出，再为刻意地追求“分母不相同”而去拆分另一个，因为这不符合他们的一般做法，这就是上述的拆分中所表现出的思路。我们把它表述为如下定理。 定理 3 设为正整数，如果, 是的不同的约数，那么，，这里 ，。 该定理意味着，只要能够找到具有“”特性的数（一个就可以），这种思路下的拆分就可以自由进行了。我们把这种拆分方法叫做“指定扩分拆分法”。 我们注意到： ， ， ， ， ， 可知6、12、18、24、30等数都具有这个特性。利用它们都能把任何一个分数拆分成单数的和，项数由其表示项数决定。例如，利用12作扩分将拆分如下： 。然而，对合数型而言，用约数拆分法是最简单的。 3 对拆分结果的算法揭示及拆分原则探讨 如前所述，埃及的分数表是许多运算的基础环节，会被经常使用到。因此，在分数表的制作形成过程中，使用什么样的方法拆分，分成几项比较适宜，分母数值不宜过大，使用时计算简便等等，都是值得考虑的。其中共有49个数，分母为合数的有25个，为质数的有24个。以下用前述3种方法分类给出它们的拆分过程，并对结果加以讨论。 3.1 分母为合数型 当分母为合数