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1. 如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧， BM(直线a于点M，CN(直线a于点N，连接PM、PN； (1) 延长MP交CN于点E(如图2)。( 求证：△BPM(△CPE；( 求证：PM = PN； (2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时 PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。 2．将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90o，∠A＝∠D＝30o，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F． (1)求证：AF＋EF＝DE； (2)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且0o＜＜60o，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出(1)中的结论是否仍然成立； (3)若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角，且60o＜＜180o，其他条件不变，如图③．你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由． 3．已知：如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点． （1）求证：①；②是等腰三角形． （2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）②中延长交线段于点．求证：． 4．如图10，在正方形ABCD中，点E,F分别为边BC,CD的中点，AF,DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE；②AF⊥DE．（不需要证明） （1）如图11，若点E，F不是正方形ABCD的边BC，CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”） （2）如图12，若点E，F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论1，2是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． （3）如图13，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程． 5、（本小题满分9分） 一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝a． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 ； （2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为 ，周长为 ； （3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1、图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证． 26、如图，正方形ABCD和三角形EFG的边长都为1，点EF分别在线段AB、AD上滑动，设点G到CD的距离为x，到BC的距离为y，记∠HEF为((当点E、F分别与B、A重合时，记(=0()。 6．（本题满分10分） 用两个全等的正方形ABCD和CDFE拼成一个矩形ABEF，把一个足够大的直角三角尺的直角顶点与这个矩形的边AF的中点D重合，且将直角三角尺绕点D按逆时针方向旋转． （1）如图（1），当直角三角尺的两直角边分别与矩形ABEF的两边BE，EF相交于点G，H时，通过观察或测量BG与EH的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论． （2）如图（2），当直角三角尺的两直角边分别与BE的延长线，EF的延长线相交于点G，H时，你在图（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由． 7、（本题满分9分） 如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。 解答下列问题： （1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。 ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法） （3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。 8．（14分）如图，矩