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《高等代数》课程教学大纲 课程类型：专业基础课 适用对象：数学教育专业专科生 总学时：216学时 先修课程：数学分析、空间解析几何等 参考书目： 1．张禾瑞，郝炳新编，高等代数（M），北京：高等教育出版社，2007年5月。 2．丘维声编，高等代数（M），北京：高等教育出版社，1996年12月。 3. 陈志杰主编，高等代数与解析几何（M）（上下），北京：高等教育出版社、Springer出版社，2000年6月。 4．孟道骥著，高等代数与解析几何（M）（上下），北京: 科学出版社, 1998年。 一 、 课程的教学目的与任务 本课程的教学目的是让学生在掌握一元多项式和线性代数的基础知识、基本理论和基本技能的基础上，初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限的辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理、分析问题和解决问题的能力。通过本课程的学习使学生了解和掌握现代数学研究的基本特征和思想方法，培养和提高其抽象思维，推理论证及独立创造的能力。 二、 课程的基本要求 1．掌握一元多项式理论，并能够深刻把握因式分解与求解的关系； 2．熟练掌握矩阵的运算，并能够认识到它的等价分类； 3. 充分理解借助线性空间刻画的线性变换的意义，并能够借助不变子空间的直和分解，掌握矩阵的相似分类； 4. 熟练掌握欧氏空间的刻划与相应的变换的刻画； 5. 通过对二次型的掌握，了解双线性函数的刻画。 三、各章节授课内容、教学方法 第一章：基本概念 [教学目的与要求] 理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系、集合与集合之间关系以及几何运算，并掌握相应的算律的证明。 了解映射、单射、满射、双射等概念，并会判断其类型。 掌握最小数原理和数学归纳法，会用数学归纳法证明相关命题。 了解整数整除的一些性质并会用其证明响应的命题。 了解数环、数域的概念，会判断数环和数域。 [教学重点与难点] 数学归纳法、判断数环和数域 [授 课 方 法] 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅 [授 课 内 容] 集合 映射 数学归纳法 整数的一些整除性质 数环和数域 第二章：多项式 [教学目的与要求] 1. 理解数域F上一元多项式的定义,多项式相乘,次数,一元多项式环等概念。掌握多项式的运算及运算律。 理解整除的定义，熟练掌握带余除法及整除的性质。 理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。 理解和掌握不可约多项式的定义及性质。深刻理解并掌握因式分解及唯一性定理。掌握标准分解式。理解和掌握k重因式的定义。 掌握多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质。正确理解多项式与多项式函数的关系。理解代数基本定理。熟练掌握复（实）系数多项式分解定理及标准分解式。 深刻理解有理系数多项式的分解与整系数多项式分解的关系。掌握本原多项式的定义、高斯引理、整系数多项式的有理根的性质、Eisenstein判别法。 理解多元多项式的定义理解对称多项式的定义，掌握对称多项式基本定理。 [教学重点与难点] 多项式互素，不可约多项式，因式分解 [授 课 方 法] 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅 [授 课 内 容] 第一节 一元多项式 第二节 整除的概念 第三节 最大公因式 第四节 因式分解定理 第五节 重因式 第六节 多项式函数 多项式的根 第七节 复系数与实系数多项式 第八节 有理系数多项式 第九节 多元多项式 第十节 对称多项式 第三章：行列式 [教学目的与要求] 1.理解并掌握排列、逆序、逆序数奇偶排列的定义。掌握排列的奇偶性与对换的关系。深刻理解和掌握n级行列式的定义,能用定义计算一些特殊行列式。 2.熟练掌握行列式的基本性质。正确理解矩阵、矩阵的行列式、矩阵的初等变换等概念，能利用行列式性质计算一些简单行列式。 3.正确理解元素的余子式、代数余子式等概念。熟练掌握行列式按一行（列）展开的公式。掌握“化三角形法”，“递推降阶法”，“数学归纳法”等计算行列式的技巧。 4.熟练掌握克莱姆(Cramer)法则。 正确理解和掌握行列式的一个k级子式的余子式等概念、熟练掌握拉普拉斯(Laplace)定理。 [教学重点与难点] 行列式的计算，克兰姆法则 [授 课 方 法] 以课堂讲授为主，课堂讨论、习题课及自学为辅 [授 课 内 容] 第一节 线性方程组与行列式 第二节 排列 第三节 n级行列式 第四节 子式、余子式 行列式按一行（列）展开 第五节 克兰