连续系统的复频域分析报告.docVIP

第七章 连续系统的复频域分析 利用拉普拉氏变换得到了信号的复频域表达式，如果将系统的输入输出信号都用拉普拉斯变换表示，并将系统用其复频域模型描述，这就得到了连续系统的复频域分析方法。 7.1 基本要求 1．基本要求 掌握传递函数的概念及求法； 掌握在复频域中求解连续系统响应的方法； 了解方框图的复频域分析方法； 熟练系统稳定性的概念及判断方法； 了解系统的时域、频域、复频域模型之间的相互转换。 2．重点和难点 传递函数的求法 系统响应的复频域求解方法 系统稳定性的判断方法 7.2 知识要点 1．传递函数 传递函数又称为系统函数、传输函数、或转移函数，其定义为系统零状态响应和外加输入的单边拉普拉斯变换之比，即 （7-1） 或者系统单位冲激响应的单边拉普拉斯变换，即 （7-2） 以上两式给出了求解系统传递函数的方法。此外，如果已知系统的传输算子，可以由下式得到系统的传递函数，即 （7-3） 2．系统响应的复频域求解 根据系统的传递函数，在求出了所有极点后，就可以将极点视为特征根，而采用与时域分析类似的方法求解得到系统的零输入响应。 对于零状态响应，将系统的传递函数与输入信号的拉普拉斯变换相乘，即得到系统零状态响应的拉普拉斯变换，然后取拉普拉斯反变换即可得到系统的零状态响应。 3．方框图的复频域模型 实际分析时有两种层次的方框图，即用基本运算单元构成的方框图和用子系统的相互连接构成的方框图。 （1）基本运算单元的复频域模型 数乘器、加法器的复频域模型与时域模型相同，而微分器、积分器、延迟器的复频域模型分别为s、1/s、e-s(。复频域分析时，将方框图中所有的基本运算单元用复频域模型表示，所有信号用拉氏变换表示，然后列写方程，得到传递函数，再进行其它的分析（例如求解系统的响应）。 （2）子系统的连接 由若干子系统相互连接构成大系统，典型的连接方式有串联连接、并联连接和反馈连接。每个子系统都有各自的数学模型和传递函数。一旦知道各子系统的数学模型，再根据方框图分析各子系统的连接关系，即可求得大系统的传递函数，再进一步对大系统进行分析。 4．连续系统的稳定性 （1）稳定的概念 在系统理论中，系统稳定的确切定义为，如果在任意有界输入作用下，系统的零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出意义下的稳定系统。 （2）连续系统稳定的充要条件 对一般的因果系统，稳定的充要条件是其单位冲激响应h(t)满足傅里叶变换的绝对可积条件，即 （7-4） （3）连续系统稳定的判断方法 如果系统函数所有极点都具有负实部，即都在s平面左半平面，则连续系统是稳定的。只要有一个极点在右半平面或者在虚轴上，则系统不稳定。 实际分析时，有劳斯-霍尔维茨判据等方法。 5．连续系统各种模型之间的相互转换 （7-5） （7-6） 需要说明的是，只有稳定的系统，其单位冲激响应才具有傅里叶变换，因而才能得到系统的频率特性。不稳定的系统是不具有频率特性的。但不稳定的系统同样存在传递函数、传输算子和单位冲激响应。因此，根据以上关系求系统的频率特性时，首先必须分析系统是否稳定，否则得到的H(j()并不是系统的频率特性。 7.3 补充例题 例7-1 已知系统的微分方程为 （1）求系统函数H(s)、频率特性H(j()； （2）求系统的单位冲激响应h(t)； （3）设y(0-)=1，y((0-)=0，f(t)=5etu(t)，求系统的全响应y(t)。 解 （1）由微分方程得到 则系统函数为 由于传递函数的极点为p1=3，p2=-2，其中p1位于[s]平面右半平面，所以系统不稳定，不存在频率特性。 （2）因为 对其取拉氏反变换得到 （3）由传递函数的极点可设零输入响应为 求导得到 代入初始条件得到 联解求得C1=0.4，C2=0.6，则 输入信号的拉氏变换为 则零状态响应的拉氏变换为 取拉氏反变换得到 则全响应为 说明：本题是比较综合的一个题目，涉及到了本章的大多数内容，具体包括—— （1）传递函数的定义及求法； （2）系统的时域、频域和复频域模型之间的相互转换； （3）系统零输入响应和零状态响应的复频域求解方法。 例7-2 已知系统在输入作用下的零状态响应为，在输入作用下的零状态响应为。 （1）求系统函数H(s)； （2）求系统的单位冲激响应h(t)。 解 （1）已知的yf2(t)的拉氏变换为 ① 根据系统的复频域分析方法又有 其中根据拉氏变换的时域积分性质有 则 将上式代入式①得到 其中又有