趣题——把矩形分割为面积相同但形状各不相同小矩形.docVIP

趣题：把矩形分割为面积相同但形状各不相同的小矩形 ????Using your Head is Permitted 数学谜题站的主持人 Michael Brand 某日收到了来自 R. Nandakumar 的一个谜题：是否有可能把一个矩形剖分成若干个小矩形，使得每个小矩形的形状互不相同，但它们的面积都一样？没有想到，从这个问题出发，加上一些非常机智巧妙的分析与构造，我们能得到越来越多有意思的东西。于是，它就变成了 Using your Head is Permitted 今年 3 月的谜题。看了谜题的答案后，我也被彻底折服，决定把这一系列的思考重述在此，和大家一同分享。为了简便起见，下面的“矩形剖分方案”一律指的是把一个大矩形分割成若干个小矩形的方案。 ????让我们先来看一个无关的问题。如果一个矩形剖分方案中不含“子矩形”，我们就说这是一个基本的矩形剖分方案。一个基本的矩形剖分中可能含有多少个小矩形？最平凡的当然是含有 2 个小矩形的基本矩形剖分，最典型的则是含有 5 个小矩形的基本矩形剖分。 ?????? ????对后者继续扩展，我们还能得到含有 7 个小矩形、 8 个小矩形的基本矩形剖分。事实上，对于所有 n = 2 、 n = 5 和 n ≥ 7 的情况，恰好含有 n 个小矩形的基本矩形剖分都是存在的，它们都可以看作是把小矩形螺旋状一圈一圈向外摆放得到的结果。我们下面证明，含有其他数量的小矩形不可能成为基本的矩形剖分方案。这个结论可以用繁冗的分类讨论甚至是计算机程序枚举来完成。我们尽可能用简单巧妙的方法，让证明变得更加可读一些。不感兴趣的读者可以跳过。 ????考虑某个矩形剖分方案中所有的水平线段。我们把整个大矩形最下面和最上面的两条边叫做边界线段，把其余的水平线段叫做内部线段，并计算这些内部线段一共有多少个不同的纵坐标，把不同纵坐标的个数记作 m 。注意到，如果小矩形的个数 n 2 ，那么一条边界线段绝不可能被某个小矩形完全霸占（否则会产生子矩形）。每条边界线段一定都被分给了至少两个小矩形。另外，每条内部线段一定都共享给了三个小矩形。如果某条内部线段只被一上一下两个小矩形所用，这两个小矩形就已经构成了子矩形。 ????于是我们得到，所有小矩形累计有至少 4 + 3m 条水平边。由于每个小矩形有两条水平边，因此小矩形的个数应该满足 n ≥ (4 + 3 m) / 2 。 ????如果 m ≥ 3 ，则 n ≥ 7 ；如果 m = 2 ，则 n ≥ 5 。另外， m 是不可能等于 1 的，如果矩形剖分里所有的内部线段都在同一个水平位置，那么或者这是一整条从左至右拦腰截断大矩形的线段，从而导致子矩形的出现；或者是一条没能连通左右边界，在中间断开过的线段，这意味着存在一个从上到下贯通整个大矩形的小矩形，同样会导致子矩形的出现。 ????为了完成我们的证明，我们只剩下 m = 2 并且 n = 6 的情况有待讨论。对竖直边应用相同的推理，可知在此情况下，竖直边也只能有两种不同的横坐标。换句话说，整个矩形剖分只分三层，只有三列，以下面这个 3 × 3 正方形为“模子”。 ?????? ????我们需要把这 9 个格子划作 6 个小矩形，因而至少 3 个小矩形只占一个格子。不妨把这种只占一个格子的小矩形叫做孤立矩形吧。首先，各边中间的格子（即 B 、 D 、 F 、 H）都不能成为孤立矩形。比如，如果 B 是孤立矩形的话，那么 A 、 D 不得不合成一个小矩形， C 、 F 也不得不合成一个小矩形，于是 B 和 E 或者 E 所在的小矩形就构成了子矩形。其次，同侧两个角上的格子也不能同时成为孤立矩形。如果 A 和 C 是孤立的，那么 B 必须和 E 组合起来，从而 A 和包含了 D 的小矩形将构成子矩形。最后，孤立矩形也不能是 A 、 E 、 I 或者 C 、 E 、 G ，否则剩下的形状至少也要被划成 4 个小矩形，总的小矩形个数会超过 6 个。这下，我们便排除了所有的情况。 ????因此，当且仅当 n = 2, 5, 7, 8, 9, … 时，才存在包含 n 个小矩形的基本矩形剖分。 ? ????我们准备好回答本文开头提出的问题了：是否有可能把一个矩形剖分成若干个小矩形，使得每个小矩形的形状互不相同，但它们的面积都一样？自然地，我们更希望找到最简单的、所含小矩形最少的剖分。首先注意到，如果满足条件的矩形剖分包含有子矩形，则这个子矩形同样满足条件。因此，小矩形个数最少的剖分方案必须得是基本的。因此， n 为 3 、 4 、 6 的情况都不用再考虑了。显然，把一个矩形分成面积相等的两个小矩形，它们必然全等，因此 n =2 也就不用考虑了。我们下面要考虑的是 n = 5 的情况。 ????注意到 n = 5 的基本剖分只能发生