一、把一支两端开口的毛细管垂直地接触液体的表面，则液体将被吸入管.docVIP

物理奧林匹亞競賽試題與解答 國立台灣師範大學物理系 林明瑞 e-mail: mjlin@phy.ntnu.edu.tw 國際物理奧林匹亞競賽（International Physics Olympiad，簡稱IPhO）是專為全世界優秀中學生所舉辦的國際競賽，自1967年創辦以來，至今已舉辦了32屆，參賽國家約近七十國，遍及五大洲，成為一年一度的世界性大賽。競賽分成理論和實驗兩場，各考五小時，內容涵蓋普通物理學的全部，試題難度接近博士資格考試的程度（但所用的數學不能超出微積分）。主辦國由參賽國家輪流擔任，負責命題和閱卷的全部試務工作。參賽對象以國家為單位，每一國僅能派出由五名中學生所組成的國家代表隊。 我國在1994年首次選拔學生組隊參賽，至今已連續參加八屆的競賽。國家代表隊的選拔程序分初選、複選、和決選三個階段，有關選拔的命題、試務、和訓練全部由選訓工作委員會負責。該委員會由來自四所大學（台灣師大、台灣大學、清華大學、和交通大學）的十六位物理教授組成。多年來，教授們群智群力所匯集成的試題，不論是品質和數量方面皆相當可觀，堪稱是學習物理的智慧寶庫。這些題目結合理論和實際，是鍛鍊分析思考能力的絕佳題材，是國內大學物理教授們為提升物理教育品質所做的集體貢獻。本刊徵得物理奧林匹亞選訓委員會的同意，每期精選若干試題和解答，以饗讀者。 一、把一支兩端開口的毛細管垂直地接觸液體的表面，則液體將被吸入管中，這就是我們所熟悉的毛細現象。本題將從動力學觀點來分析管中液柱的運動問題。設毛細管的內半徑為r，液體的表面張力為Γ，密度為ρ，黏滯係數為η，並使毛細管的內壁預先充分潤濕，可使管內液柱的表面（為一弧面）和管壁的接觸角為零，即表面張力的作用方向垂直向上。 (a)當管內液柱達成平衡狀態時，則管內的液柱高度ho為何？ (b)設毛細管和液面剛接觸時的時刻為t = 0，在時刻t時管內液柱的高度為h。若管內液柱所受的黏滯力可寫為，式中v為液柱上升或下降的速度，寫出液柱的運動方程式。 (c)試證當毛細管內的液面初始上升時，其上升的高度h和時間t成正比。 (d)假定液體的黏滯力很小（例如酒精），可以忽略不計，求出液柱高度h和時間t之間的關係式。毛細管內的液柱剛開始上升的速度為何？能上升的最大高度為何？液柱上升至最高點須經歷多少時間？ (e)利用高速攝影機（每5ms拍攝一個影像）可拍攝毛細管內液柱的運動過程，圖一為所測得的h-t關係曲線（液體為酒精，，，；毛細管的內半徑為）。試應用(d)題的理論結果來解釋此實驗曲線（比較(d)題中所問的三個物理量的理論值和實驗值，以及定性解釋h-t關係曲線的形狀）。 【註】你也許需要用到下列的數學式： (1) (2) 解： (a)作用於液柱的毛細作用力為，此力用於支持液柱的重量，所以 (b)在t時刻時的液柱動量為，故其運動方程式為 (c)當毛細管內的液面初始上升時，由於液柱極短，即h幾乎為零，其運動方程式可寫為 因為當t = 0時，h = 0，所以C = 0。以之代入上式，再積分一次可得 ，即h和t成正比。 由上式可得管內液柱上升的初速為。 (d)若液體的黏滯力可以忽略不計，則液柱的運動方程式為 設，則上式可寫為 式中A為積分常數。因為，故，代入上式可得 當t = 0時，h = 0，所以A = 0，得 由上式可知：毛細管內液柱上升的初速為，能上升的最大高度為，所經歷的時間為。 (e)將題給的數據代入上題所解得的理論公式，可得下列各量的理論值： 平衡時的液柱高度 ； 最大的液柱高度 ； 液柱上升至最高點所經歷的時間 。 由數據圖中的h-t曲線，可讀出上述各量的實驗值： ， ， 。 各量的理論值和實驗值相當吻合。的實驗值較理論值稍低，則比理論值稍大，這是由於液體黏滯力的影響。如果沒有黏滯力，則液柱將會上下振動，其h-t的關係曲線為一週期為6τ的拋物線，其最大高度為1.5ho。但在實際狀況時，由於黏滯力對液柱的阻尼作用，液柱的振盪幅度將逐漸減弱，最後的平衡高度為ho。 二、已知絕對溫度為T的物體，其單位表面積在單位時間內所輻射出的能量（即輻射強度I）遵循下列關係式 式中。若為理想輻射體，一般物體則。已知太陽的表面溫度，地球與太陽間的距離為，太陽半徑為，地球半徑。 (1)假設太陽和地球本體皆為理想的輻射體，且經測量得知太陽射向地球的輻射能量中僅有70%能抵達地球，試依此估算地球外層的溫度T。 (2)由於地球表面有一大氣層存在的關係，實際上地球表面的溫度會比上面計算的稍高（上題計算的溫度約為大氣層外圍的溫度）。假設大氣層會全部吸收由地球表面所輻射的能量，但來自太陽的輻射能量則可完全通過大氣層而被地球表面吸收，試依此估算地球表面的溫度。 (3)由於大氣層並無法完全吸收由地球表面輻射出來的能量，假設有22(的能量會穿透大氣層，試再估算地球表