现代控制理论模型转换中科大科学技术大学.docVIP

二、从已有的其它数学模型出发 这里所讲的其它数学模型，主要指线性系统的传递函数和动态结构图（也叫方块图）。我们在学习古典控制理论时还学习过输入输出微分方程、频率特性等数学模型，因它们可以很容易地转化为传递函数，故此处不打算一一赘述。 1．由传递函数求状态空间方程 我们上一节曾指出线性定常系统的传递函数矩阵是 现在的问题是由传递函数出发求取相应的状态空间方程，即所谓的“实现”问题。在后面第五章里将会进一步详细讲述，这里讲述一个例子，来说明由传递函数求状态空间方程的方法。 例2-6 设线性定常单输入－单输出系统的传递函数为 (2.1) 试求该系统的状态空间方程。 解：引入一个新变量，它的拉氏变换式定义为 即 (2.3) 于是，我们有 (2.4) 定义状态变量为 即 (2.5) 显然 (2.6) 它们与（2.1）无关，而直接由（2.5）中定义得到。为导出关于的等式，我们把（2.5）代入至（2.3），即可得 在时域中，此即 (2.7) 而将（2.5）代入至（2.4）又可得到 在时域中，此即 (2.8) 把（7.6）、（7.7）、（7.8）结合在一起即 (2.9) 这就是所要求的状态空间方程。要指出的是：虽然若给定一系统的状态空间方程，则该系统的传递函数是可以唯一确定的；但是，对于给定系统的传递函数求相应的状态空间方程，答案却不是唯一的。在本例中，若状态变量为 即 (2.10) 则可导出系统的状态空间方程是 (2.11) 注：一般称系统(2.9)为下友型能控标准型，而称(2.11)为上友型能控标准型。  2．由动态结构图求状态空间方程 例2.7 系统的方块图如图所示，求该系统的状态空间方程 解：按下图方式选择状态变量（每一个积分环节的输出信号均作为状态变量，同学们想一想为什么），则从方块图中易看出并直接得到 在零初始条件下，对上式进行拉氏反变换，得到相应的时域方程， 将之写成矩阵形式即 也可以说系统的状态空间方程是：或 其中 例2.8 系统的方块图如下，求该系统的状态空间表达式： 解：题图所示方块图没有将积分环节孤立化，但注意到： 故可将题图作一简单的结构图等效变换，得到： 按图标方式定义状态变量易得： 将之写成矩阵形式，即得系统的状态空间方程 另一方面，由题图，按如下所标出的状态变量选择，可直接得到 整理之，依次得到 在零初始条件下拉氏反变换至时间域 同样可以写成矩阵形式的状态空间方程 易见，从两条道路得到了两个不同的状态空间方程。注意到，它们虽然描述的是同一个系统，但是状态变量的选择是不同的，即： ，当然 写成矩阵形式，即 由此可见，因状态变量选择的不同所得到的状态方程亦不相同，但两组方程却描述着同一个对象，显然这两组方程之间一定存在着某种坐标变换关系。 三、状态方程的线性变换 （一）坐标变换对状态空间方程的影响 对下述状态空间方程表示的系统 作坐标变换，考虑到坐标变换矩阵Q为满秩常系数矩阵，故存在，微分上述坐标变换式，有 将之代入状态方程，并两边同时右乘，则：，于是 同时，把坐标变换式代入输出方程还可得到 记坐标变换后的状态空间方程为 则 有时，状态变量之间的坐标变换关系还可写成，注意到它与上述关系式之间的差别仅在于，于是坐标变换前后的矩阵关系还可写作： 因此，如果知道两组状态变量之间的变换关系，则可通过上式直接求取阵，同学们可以自行验证例2－4的结果。 《现代控制理论》教案 2－1 中国科学技术大学 自动化系 2013-3-6日