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泛函分析期末考试试卷（总分100分） 一、选择题（每个3分，共15分） 1、设是赋范线性空间，，是到中的压缩映射，则下列哪个式子成立（ ）. A． B. C. D. 2、设是线性空间，，实数称为的范数,下列哪个条件不是应满足的条件：（ ）. A. B. C. D. 3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（ ）. A．收敛点列的极限是唯一的 B. 基本点列是收敛点列 C．基本点列是有界点列 D.收敛点列是有界点列 4、巴拿赫空间X的子集空间Y为完备的充要条件是（????）.? A．集X是开的 ? ?B.集Y是开的 ?C.集X是闭的 ? D.集Y是闭的? 5、设的共轭空间为，则有的值为（ ）. A. B. C. D. 二、填空题（每个3分，共15分） 1、度量空间中的每一个收敛点列都是（ ）。 2、任何赋范线性空间的共轭空间是（ ）。 3、的共轭空间是（ ）。 4、设X按内积空间x,y成为内积空间，则对于X中任意向量x,y成立不等式（ ）当且仅当x与y线性相关时不等式等号成立。 5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是（ ）。 三、判断题（每个3分，共15分） 1、设X是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。 ( ) 2、?距离空间中的列紧集都是可分的。( ) 3、?若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。( ) 4、?任何一个Hilbert空间都有正交基。( ) 5、设X是线性赋范空间，T是X?X的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。( ) 四、计算题（10分） 叙述空间的定义，并求上连续线性泛函全体所成的空间？。 五、证明题（第一个5分，其余10分一个，共45分） 1、若为Banach 空间上的无界闭算子，证明的定义域至多只能在中稠密。 2、设表示闭区间上连续函数全体，对任何，令证明成为度量空间。 3、证明按范数组成的赋范线性空间与按范数组成的赋范线性空间共轭。 4、设是可分Banach 空间，是中的有界集，证明中每个点列含有 一个弱*收敛子列。 5、设是内积空间，为的子集，证明在中的正交补是中的闭线性子空间。 泛函分析期末考试试卷答案 选择题 1、A 2、D 3、B 4、D 5、D 二、填空题 1、柯西点列 2、巴拿赫空间 3、 4、|x,y|≦||x||||y|| 5、对于一切x∈X,TX,X是实数 三、判断题 1、对2、对3、错4、错5、错 四、计算题 答： 对于任意，，定义运算 ， 按上述加法与数乘运算成为线性空间 按上述定义的范数构为Banach空间 令， 则能被表示为，对任意给定， 令则. 又因为对于有。 由此可得即 反之，对，作上泛函如下： ，显然是上线性泛函，又因为 因此，并且有综上 五、证明题（共50分） 1、 证：反证法。若为定义在整个空间上的闭算子， 由于为闭集，而为Banach空间，由闭图像定理可知，为到的有界闭算子， 这与为无界闭算子矛盾，原命题成立。 2、证：由定义，对于显然且如果显然反之如果因为所以由于为连续函数，若使得则存在使得在区间上，均有这与相矛盾，所以此外，对于 即三点不等式成立。因此成为度量空间。 3、证：定义到的映射，任意其中 对任意， =， 于是。 反之，对任意定义：对任意， 则。因此是从到上的映射。 若，则显然，则 若令，则。 因此=从而于是是从到的同构映射，在同构的意义下=。 4、证： 设存在设是的可数稠密子集.考察有界数列由Weierstrass定理，存在收敛子列同理也有收敛子列.一般地，若已有子列收敛，考察.由于数列的有界性可找到收敛子列我们用对角线法则,取泛函列,在稠密子集上点点收敛.事实上,由定义,对任意,是收敛的，而是的子列，因此也是收敛的， 在上点点收敛,即 弱*收敛。 5、证：对于 则 因此为的线性子空间。 另外，对于任意中的聚点，即存在由