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数学建模实例 1 、动物数量预测 动物繁殖是一个非常复杂的问题，但是如果把影响繁殖的许多次要因素忽略掉或简单化，可以用微分方程来描述动物繁殖的近似规律，从而预测动物的未来数量。 现考虑一种与外界完全隔绝的某种动物，这里所说的与外界完全隔绝是指他们中间除了本族的出生和死亡之外，既无迁出也无迁入。设在t时间内这种动物的数量为Ｎ，并设他们的出生率与死亡率分别为n与m。假设他们的出生数与死亡数都和t时的动物数及时间成正比。现在讨论动物数Ｎ与时间t之间的函数关系。 * 数学模型也可以简单的理解为：用数学的方法解决实际问题。 实例1 室内温度应调节在什么温度值时为最佳？ 答：人的正常体温是36.5度，36.5o × 0.618 = 22.557o ， 这个温度最佳。 实例2 张阿婆携一篓鸡蛋到集市上去出售，若９个一堆则余２个，若１２个一堆则余７个，问共有鸡蛋多少个？ 解：设鸡蛋分成９个一堆共 x 堆 , 12个一堆共 y 堆 则9x+2=12y+7 解得x=19 , y=13 张阿婆共携鸡蛋 9*19+2=173个 实例3 古 题 枯木周四尺、高九尺； 葛藤经三周而达其顶； 藤长几何也? 要解决这道古题，让我们先从一道现代简单问题入手，寻找思路，探索求解方法。 实例4 一只圆柱形油罐的底圆周为长4米，高3米；一只蛐蛐沿罐壁螺旋爬行一周到达罐的顶部，求蛐蛐的爬行距离。 C=4m h=3m 4m 3m L=[ 42 + 32 ]1/2 = 5(m) 高9尺 周4尺 高 3尺 L = 3 * [ 42 +32 ]1/2=15 古 题 周4尺 实例6 建 筑 问 题 ? 房屋建筑成本由土地使用权取得费和材料工程费两部分组成。某市今年的土地使用权取得费为2000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2，请你帮助设计学校科技综合大楼的层数，使每层每平方米建筑面积的平均成本费最节省(成本最低)? 解：设学校科技综合大楼共有n层，底层的建筑面积为s，则总成本费为 ?F=2000×s+400×s+440×s+480×s +…+[400+（n-1）×40] ×s ? =(20n2+380n+2000)s 故每层每平方米建筑面积的平均成本费为 ? f=（20n2+380n+2000）s÷（ns） =20n+380+2000/n? ≥400+380? =780 当且仅当20n=2000/n, 即n=10时等号成立。 ?∴ 当学校科技综合大楼建造10层时，每层每平方米建筑面积的平本费最低为 780元/m2. 实例7　商品调价问题 　 若将某商品先涨价10％，然后再降价10％，所得的价格与原先的价格相比有无变化？不少同学会不加思索脱口而出：那还用问吗？肯定不变！果真如此吗？ 　　比如设这种商品原价为100元，则涨价10％后价格为100＋10=110元，再降价10％就是110-11=99元，可见比原先的价格便宜了。所以很多事情不能想当然贸然下结论，还是动笔算一算为好，才能做到心中有“数”。 解：设[t，t+dt]时间间隔内动物数量的增量为dN，由题意，在dt时间内这类动物的出生量与死亡量分别为nNdt与mNdt。根据 增量=出生量-死亡量 容易得到 dN=nNdt-mNdt 即 如果处始条件为N|t=0 =N0，解上变量可分离方程， 得 则 或写成 从上式看出，如果n m，则动物数量将无限增加；如果m n，则动物数量将逐步减少，趋于灭亡。这样的结论是非常天真的，事实决不会如此简单。为此生物学家及数学家根据统计数据对n，m作了修正，使节果能更符合事实。比如，设 n=a-bN，m=p+qN，式中a，b，p，q均为正常数。上两式说明出生率与死亡率已不再是常数。而是N的线性函数，前者均匀随N减小，后者均匀随N增加。这时方程（1-1）化为