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根据给定误差计算积分的算法 Romberg公式的一般形式 T(1,1) |T(m,m) T(m,m1)|e? T(2,1) T(2,2) T(3,1) T(3,2) T(3,3) T(4,1) T(4,2) T(4,3) T(4,4) … … … … … 4k 1T(m, k 1) T(m 1, k 1) T (m, k) k 1 (*) 4 1 §5 高斯型求积公式(复习) N 个节点的最大代数精度 m = 2N 1 求 x 1,…, xN 使(*)的代数精度达到2N-1。 我们称这样的节点为高斯节点，由之得 到的积分公式 N A f x( ) k k 为高斯公式 k 1 （2 ）N 点高斯公式 [定理] 节点 x , x ,…, x 是高斯节点 1 2 N P(x) 与一切次数 ≤ N-1的多项式 f (x) 正 交, 即有: 1 1 f (x )P (x )dx 0 其中 N P (x ) (x x ) i i 1 ∵N 阶Legengre多项式 1 d N 2 N P (x ) [(x 1) ] N 2N N ! dx N 与任何 ≤ N 次的多项式正交，因 此，PN (x) 就是我们要找的 P (x) 我们列出前几个： P (x ) 1 0 P (x ) x 零点 x 0 1 1 1 2 1 P (x ) (3x 1) x , x 2 1 2 2 3 x 2 3 P (x ) (5x 3) 0, x , x , x 3 1 2 3
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