高中数学_利用定积分证明数列和型不等式.docVIP

利用定积分证明数列和型不等式　 湖北省阳新县高级中学　邹生书　　　 我们把形如(为常数)或的不等式称之为数列和型不等式，这类不等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果.下面举例说明供参考.　 ?　　　 一、(为常数)型　　 ?　　　 例1(2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数，求证.　　　 ?　　 分析??这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个不等式更强的不等式，这个不等式是怎么来的令人费解.若由所证式子联想到在用定积分求曲边梯形面积的过程中“分割求和”这一步，则可考虑用定积分的几何意义求解.　 ?　　 证明??构造函数并作图象如图1所示.因函数在上是凹函数，由函数图象可知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，　　　 ?　 　 ?　　　 图1　 ?　 即，　 ?　 因为，所以.　 ?　　 所以.　　 ?　　 例2??求证.　　　 ?　 证明??构造函数，又，　 ?　　　 而函数在上是凹函数，由图象知，在区间上的个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，　 ?　　　 　 ?　　 图2　　　 ?　　　 即，　 ?　 所以.　　　 ?　　 例3??证明。　　 ?　　　 证明??构造函数，因，又其函数是凹函数，由图3可知，在区间上个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，　 ?　　　 　 ?　　 图3　　 ?　 即　 ?　 .　　　 ?　 所以.　　　 ?　 二、型　　 ?　　　 例4??若，求证:.　　　 ?　　 证明??不等式链的左边是通项为的数列的前项之和，右边通项为的数列的前项之和，中间的可当作是某数列的前项之和.故只要证当时这三个数列的通项不等式成立即可.　 ?　　　 构造函数，因为，作的图象，由图4知，在区间上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长，以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即，而，　 ?　　 故不等式成立，从而所证不等式成立.　 ?　　　 　 ?　 图4　　 ?　　 例5（2010年高考湖北卷理科第21题）已知函数的图象在点处的切线方程为.　 ?　 （Ⅰ）用表示出；　 ?　　　 （Ⅱ）若在内恒成立，求的取值范围；　 ?　 （Ⅲ）证明:.　　　 ?　　 本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.　　 ?　　 证明??（Ⅲ）不等式左边是通项为的数列的前项之和，我们也可把右边当作是通项为的数列的前项之和，则当时，，此式适合，故只要证当时，即，　 ?　　　 也就是要证.　　　 ?　 由此构造函数，并作其图象如图5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积，即.　 ?　　 　　　 ?　　　 图5　　 ?　　 而，所以，　　 ?　　 故原不等式成立.　　 ?　 点评??本解法另辟蹊径，挖掘新的待证不等式左右两边的几何意义，通过构造函数利用定积分的几何意义来解决问题，解法虽然综合性强，但由于数形结合解法直观便于操作.积分法是在新课标下证明不等式的一个新方法新亮点，很值得品味.由例4例5可知，要解决这类复杂问题的关键是要善于联想善于分析问题和转化问题，这样才能化繁为简、化难为易，精彩的解法不是空穴来风而是理性思维的必然结果.　 ?　　 作者简介：邹生书，男，1962年12月出生，湖北阳新县人.现任教于阳新县高级中学，中学数学高级教师，黄石市骨干教师.近四年来在《数学通讯》、《数学通报》、《中学数学教学参考》、《中学数学教学》、《中学数学月刊》、《中学数学》、《中学教研》、《中学数学研究》、《中小学数学》、《高中数学教与学》、《中学生数学》、《河北理科教学研究》、《数理天地》、《数理化解题研究》等近二十种期刊上发表教学教研文章百余篇，在人教网中学数学栏目发表文章二十多篇.