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第二章 过程系统模拟的序贯模块法;第二章 过程系统模拟的序贯模块法;1. 基本知识 2. 非线性代数方程数值解法 3. 非线性代数方程组数值解法 4. 微分方程组数值解法;1. 基本知识;方程的两种表达形式;两种表达方式转换的通式： ;收敛单元：数值迭代求解非线性方程组的子程序。 适用于收敛单元的数值方法一般应尽可能满足： （1）对初值的要求不高。切割变量的初值可根据流线的实际意义给出，要求初值组数少的方法更实用。 （2）数值稳定性好。好的迭代方法应该对各种问题都能得到收敛的解。 （3）收敛速度快。三个主要影响因素：①迭代次数；②函数G(x)的计算次数，即一次流程回路的模拟计算；③矩阵求逆的次数。 （4）占用计算机存储空间少。流程模拟计算量大，数值计算的存储空间问题也需要考虑。;迭代过程 迭代的结果： 收敛－待解变量向方程的解逐渐、无限逼近。 发散－待解变量离方程的解越来越远。 振荡－待解变量的取值不断重复同样的变化。;一、直接迭代法（Direct substitution method） （1）显式方程 （2）迭代公式： （3）收敛特性： n=1，线性收敛;举例：x3 - 27 = 0 , x* = 3;举例：;直接迭代法－迭代收敛性的几何解释;解代数方程组:;3y＋2x＝2;（1）显式形式 （2）迭代公式 其中： 松弛因子 (relaxation factor) 当 ，为直接迭代法 （3）收敛特性 n=1，线性收敛 ;直接迭代法;（1）显式形式 （2）迭代公式 连接(k－1)点、(k)点直线： 与直线y＝x的交点： ; 公式： 初始： 设x（0），用直接迭代得到x（1）（两点法） （3）收敛特性 1 n 2，超线性收敛 当 ，可能导致迭代失败， “有界Wegstein法”:经验地将ω限制在某一范围内。;（1）隐式形式 （2）迭代公式 基本思想：设法将非线性方程转化为某种线性方程近似求解 f(x) 在 xk 点一阶展开： 得到：;（3）收敛特性 n = 2，二阶收敛 缺点：a.初值点选择影响收敛结果，对初值选择敏感； b.需要用分析法或数值法获得导数，不适合??杂函数 （4）近似牛顿法 用差分代替微分： 用前两点连线的斜率近似导数： （割线法，与Wegstein法公式相同）;解析法与数值法;单变量非线性方程数值解法比较;在序贯模块法中，迭代计算不可分割子系统;方程组的迭代求解 迭代通式：X(k+1) = X(k) + ?X(k) 收敛判据 绝对误差: 相对误差：;一、直接迭代法与部分迭代法;3、收敛性;二、韦格斯坦法（Wegstein method）;3、收敛性;例：;三、牛顿－拉夫森法（Newton-Raphson method）;3、收敛性;例：;建立残差函数：;4、拟牛顿法(Quasi-Newton method)的基本思路;四、布洛伊顿法（Broyden method） （一种典型的拟牛顿法）;作业：;作业：;§2.6.4 微分方程数值解法;一、化工流程中常见的微分方程表达;2、套管内冷热两流体温度分布;3、连续流动槽内液面随时间变化规律;4、常见的偏微分方程;二、常微分方程数值解法简介;三、一阶常微分方程初值问题（Initial value problem ）;局部截断误差;例：求混合槽内浓度变化的数学模型;2、改进的欧拉法（二阶法）;3、四阶龙格－库塔法（Runge - Kutta method）;4、一阶常微分方程组初值问题数值解法