实数集、函数.ppt

设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个不为零的数 l ，使得对于任一x?D有(x?l)?D，且 f(x+l) = f(x)，则称f(x)为周期函数，l 称为f(x)的周期。 周期函数的图形特点： y x O l 2l -2l -l y=f(x) 4. 函数的周期性 四、反函数与复合函数 对于任一数值 y?W，D上至少可以确定一个数值 x 与 y 对 应，这个数值 x 适合关系 f(x)=y。 如果把 y看作自变量，x 看作 因变量，按照函数的定义就得到 一个新的函数，这个新函数称为 函数y=f(x)的反函数， 记作 x=j(y)。 1. 反函数 设函数y=f(x)的定义域为D，值域为W。 y=y0 O x y x1 x2 y0 D y=f(x) (x1, y0) (x2, y0) W O x y x y=f(x) y O x y -x x y=f(x) y 单调函数的反函数是单值函数 什么样的函数存在单值的反函数？ O x y -x x y=x2 y y=x2 的反函数是多值函数： x= ? 。 反函数的单值分支： 另一个单值分支为x=- 。 把 x限制在区间 [0,?)，则y=x2 的反函数是单值的， 即x= 。它称为函数y=x2 的反函数的一个单值分支。 在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y 表示。 按此习惯，我们把函数 y=f(x)的反函数x=j(y)改写成y=j(x)。 例如y=x2的反函数写为y=? 。 反函数的图形： 反函数的图形与直接函数的图形关于直线y = x对称。 O x y y=x y=f(x) y=j(x) P(a,b) Q(b,a) 关于反函数的变量符号： 例10 解 则有 所求反函数为 其定义域为(-1,1), R即为所求值域. 2．复合函数 函数 y?f [g(x)] 称为由函数 y?f(u) 和函数 u?g(x) 构成的复合函数, 变量 u 称为中间变量. 注: 1. g 与 f 能构成复合函数的条件是: Wg∩Df ≠F. 2. g(x)?Df 的解集为 f [g(x)] 的自然定义域. 例 函数y=arctan (x2)可看作是由y=arctan u和u=x2复合而成的． 问：函数y=arcsin u与u=2+x2能构成复合函数吗？ 定义域为：R 区分几个记号： arctan x2 ；arctan2x；sin x3；sin3x… 例11 解 例12 解 解 例13 分解下列复合函数: (1) (2) (3) 例14 解一 令 得 解二 解 例15 五、初等函数 1. 幂函数 函数 y=xm （m 是常数）叫做幂函数． 定义域：与常数m 有关，但函数在（0，+?）内总有定义． 最常见的幂函数： x y O 1 1 y = x 2 y = x y = x x y O 1 1 y=x-1 y=x3 1 a1 y=( )x 1 a y=ax x y O 常用的指数函数为 y=ex. 2．指数函数 函数 y=ax (a是常数，且a0，a ?1)叫做指数函数． 指数函数的定义域：D=（- ? ，+ ? ）． 单调性： 若a1，则指数函数单调增加； 若0a1，则指数函数单调减少． 1 a1 y=ax x y O y=logax 3．对数函数 指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a0，a ?1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ ?)． 自然对数函数：y=ln x=loge x. 常用的三角函数有： 正弦函数： y=sin x 1 -1 y=cos x 余弦函数： y=cos x 1 -1 y=sin x y x O x y O 4．三角函数 正切函数： y=tan x 余切函数： y=cot x x y O -p p p 2 p 2 x y O -p p p 2 p 2 y=tan x y=cot x 正割、余割函数的性质： 以2p为周期的函数，在区间(0, ) 正割函数： p 2 余割函数： 内是无界函数． y = sec x = ---- 。 1 cos x 1 sin x