西南交大线性代数期末试题卷与答案.docVIP

一、下列各题是否正确？若正确在括号内打“√”，否则打“×”（共计10分） 1．若两矩阵的乘积，则一定有或。----------（ ） 2．若向量组{}线性相关，则{}也线性相关。---（ ） 3．若是一个阶方阵且线性方程组有解，则。--------（ ） 4．若都是阶方阵，则。------------------------------------（ ） 5．若是方阵的一个特征值，则一定是不可逆的。------------（ ） 二、单项选择题（每小题3分，共计15分） 1．若矩阵的秩为1,则的取值为 【 】 (A). 2； (B). ； (C). 6； (D). . 2．若3阶方阵的行列式，则 【 】 (A). ； (B).－4； (C).； (D). 3．若、是等价的阶方阵，则矩阵、一定满足 【 】 (A).特征值相等； (B).秩相等； (C).行列式相等； (D).逆矩阵相等. 4．若且，则方程组的基础解系中的向量个数是 【 】 (A).； (B).； (C).； (D). 5．若阶矩阵与相似，，是矩阵的对应于特征值的特征向量，那么矩阵的对应于特征值的一个特征向量为 【 】 (A).； (B).； (C).； (D). 三、填空题（每小题5分，共计20分） 1．向量组的一个最大无关组是 __。 2．设，若3阶非零方阵满足，则 __ 。 3．设矩阵与相似，，则的行列式 。 4．设，，则矩阵有一个特征值 。 四、计算下列各题 1．（10分） 设，，，求。 2．（12分）设向量，，，，，问：取何值时，向量可由向量组线性表示？并在可以线性表示时求出此线性表示式。 3．（15分）用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换及的标准型。这个二次型是否是正定的？为什么？ 五、（每小题6分，共计18分） 1．设都是4维列向量，且4阶行列式， ，求4阶行列式。 2．设，都是阶矩阵，且，问：齐次线性方程组与是否有非零的公共解？证明你的结论。 3．已知线性方程组有无穷多解，其中，。 是三阶矩阵，且，，分别是矩阵的对应于特征值，，的三个特征向量，求常数与矩阵。 ×；×；×；√；√ ---------------------------------------10 B ；B ；B ；C；D -----------------------------------------15 (1)．； (2)．； (3)．； (4)． --------------------------------20 (1)．---------------------------------------------------1 ，------------------------------------------3 -------------------------------------------8 ------------------------------------------9 -----------------------------------------10 用求出或直接求出得相应的分。 (2)．是线性方程组的求解问题。增广矩阵 所以，时有唯一的线性表示；且时有多个线性表示。------6 解方程得：时，唯一的线性表示为 -------------------------8 且时，线性表示为（） --------------------12 或线性表示的系数满足 -------------------------------------------12 (3)．二次型的矩阵为---------------------------------------------------2 矩阵的特征值为：，，---------------------------------6 特征向量： ，，------------11 单位化，，， ----------------------------------------------------13 正交变换，二次型的标准形为----------------14 因为矩阵的特征值均为正数，所以此二次型是正定的。-------------15 五、 (1)．--------------------------------2 --