数学 学年论文 毕业论文 关于函数连续性、可导性及可微性的探讨.docVIP

关于函数连续性、可导性及可微性的探讨 摘 要: 函数是微积分学的主要研究对象. 函数连续性、可导性及可微性是函数的重要性质. 它们之间密不可分. 本文对一元及二元函数的这些性质逐一进行了探讨, 并把其推广至m元函数. 关键词: 连续 可导 可微 一、一元函数的连续性、可导性及可微性 1．首先我们来看一下一元函数这些性质之间的关系 下面我们给出这些关系的证明及反例. (1)定理1 函数在点可微的充要条件是函数在点可导. 证明 必要性 若在点可微,可知 即 取极限后有=A 这就证明了在点可导且导数等于A. 充分性 若在点可导,则在点的有限增量公式 表明函数增量可表示为的线性部分为与较高阶的无穷小量之和,所以在点可微. (2)定理2 若函数在点可导,则在点连续. 证明 若函数在点可导,则有 即 (其中函数) 所以 则在点连续. (3) 函数连续,不一定可导. 例如 函数在点处连续,但不可导. 证明 故在处连续,但 当时极限不存在,所以. 2.函数的连续性与可导性是研究一元函数性质的重要方面,如果受到初等函数这方面性质的影响而当然就会产生一些错误的认识.我们所熟悉的初等函数具有很好的连续性与可导性，而一些非初等函数在这些方面有时会表现出一些特殊性质，看下面的特例. (1)函数处处有定义,但处处不连续. 如狄利克雷(Dirichlet)函数 由有理数与无理数的稠密性可知这个函数在整个实数范围内的任何一点都 是不连续的. （2）仅在函数一点连续,任何点都不可导. 例如 证明 由于,则任意的,存在,当时,,即函数在点处连续. 但同样根据有理数与无理数的稠密性可知, 在其它任何一点都不连续. 由连续性可知 仅仅可能在处可导.但是作为 , 故不存在.所以在处也不可导. 即这个函数仅在处连续,在任何一点都不可导. （3）函数仅在一点连续,且仅在一点可导. 例如 与(2)中例子相似,可以证明仅在处连续. 同时由于， =() 由(2)的证明 =0. (4) 存在处处连续处处不可导的函数. 这个问题在历史上经过了很长时间的讨论,甚至出现过不存在这样的函数的所谓“证明”,但最终以一个例子的出现而结束. =,函数在R上连续且,且b为奇数时函数处处不可导. (5) 函数处处可导但导函数不连续. 例如 = 当时,由第二项可以看出不存在. 当时= 可见这个函数在任何点都可导,但在处导数不连续. 二、二元函数的连续性、可导性及可微性 二元函数的性质要比一元函数的性质复杂的多.我们通过连续、偏导存在、可微、偏导函数连续之间的关系来阐明它们之间的联系.它们之间的联系可用下面的图示简洁的表示出来. (1)定理3 若函数的偏导数在点的某邻域内存在,且, 在点处连续,则函数f在点处可微. 证明 我们把全增量写作 = =[]+[] 在第一个括号里,它是函数关于x的偏增量;在第二个括号内,则是关于y的偏增量.对它们分别应用一元函数的Lagrange中值定理,得 =+ (1) 由于与在点处连续,因此有 = (2) = (3) 其中时，，将（2）（3）代入（1），则得 =+++ 可知函数f 在点处可微. (2)定理4 若二元函数在点处可微,则f在该点处关于每个自变量的偏导数都存在. 证明 二元函数在点处可微,则函数f在处的全增量 ,由偏导数的定义知 = ==A+=A = ==+B=B 即关于自变量x的偏导数存在,关于自变量y的偏导数也存在. (3)定理5 若函数在点处可微，则函数在点处连续. 证明 由于=0，存在0，使得当P时，有又函数f在点处可微,则函数f在点处的全增量 =(其中A,B是仅与有关的常数) 故对任何的,总存在相应的,只要P,就有= 而A,B是仅与有关的常数,故也是任意小的数,由二元函数连续的定义,f在点处连续. 但这些定理反推过去却不一定成立.下面我们看一些反例,以加深对这些性质的理解. (4) 偏导函数连续并不是可微的必要条件. 例如 = 在原点(0,0)处可微,但与却在(0,0)处不连续. 证明 由偏导函数的定义 == 同理,若函数在原点(0,0)处可微,则 = 应是的高阶无穷小量.为此,考察极限 ==0 因而函数在原点可微. 当时 = 由于,不存在 (因为y=x时,不存在) 因此,当(x,y)时, 的极限不存在,从而在点