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第7章 图论 第七章 图论 引言 7.1 图的基本概念 7.2 路与连通 7.3 图的矩阵表示 7.4 最短路径问题 7.5 图的匹配 8.1 Euler图和Hamilton图 8.2 树 8.3 生成树 8.4 平面图 目的 引言 为什么要学习图论？ 图论——计算机问题求解的描述工具。 可以采用图论的成果和方法； 最重要的是： 可以培养我们思考问题和解决问题的能力。 引言 应用背景 图论在现代科学技术中有着广泛的应用，如：网络设计、计算机科学、信息科学、密码学、DNA的基因谱的确定和计数、工业生产和企业管理中的优化方法等都广泛的应用了图论及其算法。 计算机网络 引言 应用背景 计算机网络 电路模拟 引言 应用背景 计算机网络 电路模拟 交通网络 引言 应用背景 有向图 引言 应用背景 Social Network 引言 应用背景 The Internet 引言 More Applications Hypertexts 网页包含到其他网页的超链接。整个Web是一个图. 有哪些信誉好的足球投注网站引擎需要图处理算法。 Matching 职位招聘，如何有效将职位与应聘者匹配？ Schedules 工程项目的任务安排，如何满足限制条件，并在最短时间内完成？ Program structure 大型软件系统，函数（模块）之间调用关系。编译器分析调用关系图确定如何最好分配资源才能使程序更有效率。 引言 图论的产生和发展 1.哥尼斯堡七桥问題(Bridges of Koenigsberg) 引言 欧拉路径：解決哥尼斯保七桥问題 引言 2.四色猜想 在任何平面或球面上的地图，只用四种颜色涂色，就可使得相邻区域涂上不同颜色。 引言 3. Hamilton周遊世界问題 引言 4.最短路径问題 (Shortest Path Problem) 引言 最短路径算法?Dijkstra算法 引言 5.走迷宫与深度优先有哪些信誉好的足球投注网站(Depth-First Search) 引言 图论的重要地位 图论在计算机科学领域中有着重要地位 操作系统进程演变状态图和目录树有哪些信誉好的足球投注网站。 人工智能图有哪些信誉好的足球投注网站策略和知识的表示 数据结构的二大类非线性结构：树和图 数据库系统的实体-联系模型和文件组织 自动机理论 引 言 引言 图论相关的交叉研究 代数图论 拓扑图论 化学图论 算法图论 随机图论 极值图论 网络图论 模糊图论 超图论 以往数学家习惯将纯数学应用于其它学科，Gowers将图论和组合数学中的Ramsey理论应用于泛函分析的研究，获得了1998年的Fields奖。 7.1 图的基本概念 1.图的定义 图论中讨论的“图”，不是微积分、解析几何、几何学中讨论的图 形，而是客观世界中某些具体事物间联系的一个数学抽象。如二元关系的关系图，就不考虑点的位置及连线的长短曲直，而只关心哪些点之间有连线。这种数学抽象就是图论中“图”的概念。 7.1 图的基本概念 1. 图的定义 定义7.1.1：所谓图(graph)G是一个三元组，记作G＝V(G),E(G), Ψ(G)，其中 （1）图G的结点 组成的结点集(vertex set)记作V(G)＝{v1,v2,…,vn}, (V(G)≠ Ф) （2）图G的边 组成的边集(edge set)记作 ，且ei为 (vj,vt )或 vj,vt 。若ei＝(vj,vt )，称ei为以vj和vt为端点(end vertices)的无向边 (undirected edge)；若ei＝vj,vt，称ei为以vj为起点(origin)，vt为终点(terminus) 的有向边(directed edge)。 （3） Ψ(G)：E→V×V称为关联函数(incidence function）。 7.1 图的基本概念 当图的顶点集和边集被给定时，Ψ可以省去，可以将图简记为 G=V, E 。 无向边 若边e i的两个顶点vj, vk，不能区分起点和终点，则称该边为无向边。无向边e 用无序偶（vj , vk）表示。 有向边 若边的一起始顶点为vj，另一终止顶点为vk，则称该边为有向边。有向边用有序偶vj,vk 表示。 无向图 每一条边都是无向边的图称无向图 。 有向图 每一条边都是有向边的图称有向图 。 混合图 一些边是有向边，另一些边是无向边的图，称为混合图 。 邻接边 关联于同一顶