基于HBNID的非线性自治系统识别的新研究.DOCVIP

基于HBNID的非线性自治系统识别的新方法 钟学平 叶 敏 （浙江大学航空航天学院工程力学系，杭州 310027） 摘要 本文对识别自治振动系统参数的HBNID加以改进，提出一种新的识别方法，以提高计算的精度和效率，并扩展到多自由度自治系统。本方法是在实验的基础上，运用响应的傅立叶展开式的相关变换，以及非线性项的基本小函数代换，从振动方程中得到系统参数的线性函数，利用最小二乘法识别系统的参数。最后，通过数值模拟举例验证了此方法的优越性。 关键词 自治振动系统， 扩展谐波平衡法， 基本小函数， 最小二乘法 引 言 非线性系统的识别近年来受到广泛关注，各种参数识别和非参数识别方法也相继出现。Nayfeh[1]提出了一种非线性系统参数识别的方法，此方法是利用非线性系统响应，以及其与系统假定模型的响应之间的比较来进行的，但是要找到假定系统模型往往是较困难的。Tang等[2–4]提出非线性系统参数识别的时域方法和相平面法，但此方法主要是针对可积非线性系统。Peng Jiehua[9]提出利用一次近似频率响应方程来识别单自由度振动系统参数的新方法，但此方法是针对弱非线性振动系统的。Yasuda等[5]提出一种识别非线性多自由度系统的频域方法，此方法的基本步骤与Casas[6]独立提出的非线性谐波平衡识别法(HBNID)类似，HBNID是针对存在有限循环周期响应的非线性自激振动系统而提出来的，而Yasuda和他的助手致力于由外在激励产生的稳态周期响应的非线性振动系统的研究。Yuan和Feeny[7]通过从混沌系统中提取不稳定周期轨线的数据，将Yasuda等的研究扩展到混沌系统，并在这些数据的基础上，使用谐波平衡法来识别参数。Thothadri等[8]将HBNID扩展到多自由度流体结构系统。HBNID法是以周期振动的存在为前提的，要研究存在拟周期和奇怪吸引子系统的参数识别问题，就要利用其他的方法。 本文对谐波平衡识别法（HBNID）进行改进，以提高计算的精度和效率。首先，利用傅立叶展开式得到含有参数和傅立叶展开式系数的一系列识别方程。其次，引入一些新的参数代替要识别的参数，将上述识别方程转变为新参数的线性方程，以方便最小二乘法的实施。最后，在最小二乘法的基础上得到规范方程，此规范方程是关于新参数的线性方程。通过规范方程的求解，可以得到所要识别的参数值。为了检验HBDID改进后的效果，以弹簧振子系统为例，通过数值模拟验证了此方法的优越性。 基本思路 假定非线性自由振动系统的控制方程为： （1） 其中是关于、的非线性函数。 引入相关变换可得到控制方程的标准形式： （2） 其中 ， ， ， 当非线性系统的响应是周期的时，、以及也是周期的，并且可以用傅立叶级数展开，假定其振动周期为，则振动频率。系统响应的傅立叶展开式为： （3） 此时有： （4） （5） 当非线性部分的表达式已知时，由于是关于、的非线性函数，可以以其傅立叶展开式直接代入，当非线性部分的表达式未知时，可以根据所能得到的关于系统的信息（特别是关于非线性部分表达式的信息）用基本函数估计的表达式。得到估计表达式后，同样以其傅立叶展开式代入，故两种情况下都可将表示为： （6） 其中为系数，为、的非线性函数。 HBNID在实施过程中是直接将非线性系统控制方程中的每一项以其傅立叶展开式代入。本文对HBNID的运用进行改进，将非线性系统控制方程中的、、以的傅立叶展开式及求导代入，这样可以更好地减少试验带来的误差和简化识别过程，将式（3）、（4）、（5）、（6）代入式（2）中，得 化简得 （7） 又 令 则 （8） 将（8）代入（7）中，于是可得 （9） 其中、、为非线性系统所要识别的物理参数。 式（9）表明了非线性系统的性质，但是式（9）是关于、的非线性方程，我们须用一些新的参数、来代替、 设 有 （10） 其中 ， 这样、均可由试验数据得到。 再者，式（10）是关于所求参数、、的线性方程，是系统的识别方程。当谐波数足够大，可以得到关于个未知参数的线性方程，并且通过最小二乘法可以得到所求参数、、的值。 最小二乘法的过程如下：