圆锥曲线与直线的关系.PDFVIP

§1−4圓錐曲線與直線的關係 (甲 圓錐曲線與直線的關係) (1)直線與錐線的關係： (2)原理： 設圓錐曲線Γ ：f (x ,y )=ax2 2 +by +cx+dy+e=0 ，直線L ：px +qy+r=0 ⎧f (x , y ) 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1) 討論 Γ與 L 的交點個數 ⇔ 討論 ⎨ 的實數解 (x ,y ) 的個數將 (2) px +qy +r 0 ⋅⋅⋅⋅⋅(2) ⎩ 中L的方程式px +qy+c=0 代入 (1)(消去其中一個變數y ) ，化成一個一元二次 (或一元一次 )方程式Ax 2+Bx +C=0 ，則得到 (a)當Ax 2+Bx +C=0 有兩個相異實數解，L與Γ交於相異兩點。 (b)當Ax 2+Bx +C=0 有一個實數解，L與Γ交於一點。 (c)當Ax 2+Bx +C=0 有沒有實數解，L與Γ沒有交點。 ~1−4−1~ 2 2 x y [例題1] xy 平面上有直線 L ：y =mx+3 與橢圓Γ ： + =1 ，試由m 值討論直線 L 與 9 4 橢圓的相交情形。 5 5 5 Ans ：(1)m 或 m− Γ與 L 相交兩點(2)m=± Γ與 L 只有一個交點 3 3 3 5 5 (3) − 3 m 3 Γ與 L 不相交 [例題2] 設Γ ：y 2=4x外一點A(−1,0) ，請問通過A且與Γ交於一點的直線方程式。 Ans ：y =0 或y =(x+1)或y = −(x+1) 2 2 (練習1) 直線y =mx+2 不與雙曲線 4x −9y =36 相交，求m的範圍。 2 2 2 2 Ans ：m 3 或m− 3 (乙圓錐曲線的切線) 上圖中拋物線的軸L 與其僅交於一點，但並不是切線，因此與錐線僅交於一點 0 的直線並不一定是切線，那麼切線應如何定義呢？ (1)切線的定義： 設直線 L 與錐線Γ相交於 P 、Q 兩點，當直線 L 連續變動時， P 和 Q 兩點沿著 錐線漸漸靠近，一直到 P 與 Q 兩點重合成一個點 T ，此時直線L 稱為錐線Γ在 T 點的切線 ，T 點稱為切點 。通過切點T 且與切線垂直的直線稱為錐線在 T 點 的法線 。 ~1−4−2~ 事實上 ，若直線 L 與圓錐曲線Γ交於 一 點，除 了 「Γ為雙曲線且 L 平行其漸近線」 與「Γ為拋物線且 L 平行其對稱軸」的兩個情形外，直線 L 一定是圓錐曲線Γ 的切線。 但是這個定義牽涉到微積分的知識，超出 高中數學的範圍。因此在這裡我們處 理錐線的切線問題，依然使用之前所提及 的原理，只是有時要利用其他性質來 輔助。 (2)切線方程式的求法： 根據之前的原理，我們分成以下幾個型態： (a)已知切線斜率求切線方程式： [例題3] 設拋物線的方