关于hadamard矩阵的若干结果-东南大学学报.pdfVIP

第2 8 卷第5 期 东 南 大 学 学 报 Vol2 8 N o5 1998 年9 月 JO UR NAL OF SOU T HEA ST U N IV E RSI T Y Sept . 1998 Hadamard 李 方 刘海生 ( 杭州大学数学系 杭州310028) ( 东南大学应用数学系 南京2 10096) 研究了著名的Hadam ard 猜想 对 一正整数K , 给出了4K 4K 阶Hadamard 矩阵存在的一些必要条件. Hadam ard 矩阵; Hadamard 猜想; 规范形; 循环矩阵 O 15 1. 21; O 157 . 4 1 Hadamard 矩阵是以+ 1 和- 1 为元素且任 两行互为正交的一种方阵, 即: 当n n 阶矩 阵A = ( a ) 的元素a = 1 且满足正交性条件: ij ji n 0, i j aikaj k = k= 1 n, i = j nd [ 1] 时, 矩阵A 叫做n 阶H adamard 矩阵 . 易见, A = ( a ) 是H adamard 阵当且仅当AA T = nI . 此处A T 是A 的转置, I 是n ji nn n n n 单位阵. 1867 年Sylvester[ 2] 从正交性思想中提出了H adamard 矩阵, 至今已有100 多年历史. 近几 十年由于获得许多重要的应用, H adamard 矩阵正引起人们更多的注 和兴趣. 关于Hadam ard 矩阵的中心问题是Hadamard , 即: 对于任 正整数n = 4k ( k 1) 至 少存在一个n n 阶的H adamard 矩阵. Hadamard 猜想的提出已有近百年的历史, 至今尚未得到解决, 只有部分的结果. 已有资料 [ 3] r 表明, 26 8 以内所有4 的倍数阶的Hadam ard 矩阵已被构造出来 , 阶数属{2 } 等9 类数及其和 [ 4] 的Hadam ard 矩阵的存在性也已知道 . 但离对任 正整数n( 4 | n) 证明Hadamard 矩阵存在 还差得很远. 要真正解决H adamard 猜想, 还需对H adamard 矩阵的性质做更深入的研究, 从中 发现新的方法才有可能. 本文对Hadamard 矩阵的性质做了一些探讨, 给出了4k 4k 阶 Hadamard 矩阵存在的一些必要条件, 希望能对H adamard 猜想的研究有所裨益. [ 5] 易见, 设H 是n n 阶Hadamard 矩阵( n 2) , 则n 一定是4 的倍数 . 因此我们只需讨 论4k 4k 的矩阵, 这里k 1. 国家自然科学基金资助项目( 编号: 1950 1007) . 收稿日期: 1997- 12- 0 1 修改稿收到日期: 1998- 05- 12. 144 东 南 大 学 学 报