(1.2) 第二节 数列的极限.pptVIP

因为当 n 2 时，由二项展开式有 2 n =( 1+1 )n = 故有 即给定数列{ x n }有上界且有下界， 所以{ x n }有界。 用缩放法确定 M 例：证明数列 { x n }={ n( -1 )n } 无界。 由数列无界的定义，要证明数列{ x n }无界，就 是要对任意正数 M，说明总能找出一个 n* ，使得 | x n * |= |n*( -1 )n *| M . 对给定数列，注意到有 | x 2n |= |( 2n )( -1 )2n| = 2n ，于是 对任意的 M 0，取 n* =2[ M +1]，则有 由数列无界的定义，{ x n }={ n( -1 )n }无界。 按数列无界的定义进行证明 由定义知，为说明数列{ x n }有界，只需确定一 个正数 M，使得对一切 n 有| x n| M ． 　　由直观可见，由于数列{ x n }收敛，故数列中的无 穷多个点都聚集在某定点 a 的邻域内，位于邻域外的点 只有有限个。因此可通过确定数列中的最大项和最小项 来确定该数列的界 M. (2) 收敛数列的有界性 若数列{ x n}收敛，则{ x n}有界　　　 定理 无穷多项 有限项 有限项 最大项　 最小项　 * 极限概念是由求某些实际问题的精确解而 产生的。正是由于极限的概念，建立了有限与 无限、变与不变的联系。由极限概念产生的极 限理论则构成了微积分的基础，而微积分的创 立不仅完成了常量数学到变量数学的跨越，同 时也开启了现代数学之门。 只有掌握极限理论才能深入的解释和理解 微积分理论乃至现代数学的思想和方法。 数列极限是极限概念产生的最初源头，它起源于用 圆的内接正多边形求圆面积的方法。 古希腊人用穷竭法求圆面积，即不断地作圆的内接 正多边形，随着多边形边数 逐次成倍增加，圆面积将被 内接正多边形的面积所穷竭。 中国古代数学家刘徽 (公元三世纪)不仅建立了 割圆术，还建立了计算相 应数列极限的方法。 刘徽割圆法 刘徽割圆法的基本思想是用圆的内接正多边形面积 去逼近圆面积。求内接正多边形面积的关键是求出其一 边之长。刘徽采用了如下逐次逼近的方法： 为使讨论简单化，考虑单位圆的内接正多边形。 设 AB = a n 是单位圆的内接 正 n 边形的边长， AB ? = a 2n 是 内接正 2n 边形的边长。 为由内接正多边形面积逐次 逼近圆面积，考虑建立 a n 与 a 2n 的关系。 作辅助线 AC，则由勾股定理有 于是得递推关系式 设圆的内接正六边形面积为 A1，内接正十二边形的 面积为 A 2，内接正二十四边形面积为 A 3 ,…,…，由上 述递推关系可求得一系列圆内接正多边形面积值： A1 , A 2, A 3 ,… , A n ,… ， 刘徽一直求到了圆的内接正 a 3072 边形的面积。利 用这列有序数，刘徽计算出了较前人精确得多的圆面积 的值，并求得了圆周率为 ? = 3.1416 ,… . 建立了数列的概念 蕴含了极限的原始思想 刘徽割圆术的意义 (1) 数列的一般定义 如果按照某一法则，有第一个数 x 1，第二数 x 2,…, 这样依次序排列着，使得对应任何一个正整数 n 有一个 确定的数 x n，那末这列有序的数 x 1 ,x 2 ,…, x n 就叫做 数列，记作:{ x n }. 数列中的每个数叫做数列的项，第 n 项 x n 叫做数列的一般项。 数列的概念实际是整标函数的概 念，即自变量取全体自然数，并按自 然数的排列顺序变化的一种特殊函数 x n = f( n )，( n = 1,2,3,…，). 数列作为整标函数的例 (2) 数列收敛性的概念及其描述 圆的内接正多边形面积构成一列有序数( 数列 ) A1 , A 2, A 3,… , A n ,… . 这一数列中的各项 A n 虽都不是圆面积 A，但具有 如下特点： 当 n 越大时，A n 作为圆面积的 A 近似值就越精确， 但不论 n 取得如何大，只要取定了n ，A n 终究只是 A 的 具有某种精确度的近似值而非精确值。为求 A 的精确值 只有让 n 无限增大，而当 n ? ? 时，就有 A n ? A . 数列收敛性的概念 对于一般的数列{ x n }，总会出现两