辅导第6讲大数定理和中心极限定理.doc

第六章 大数定律和中心极限定理 马尔可夫不等式和契比雪夫不等式 马尔可夫不等式 定理 1设随机变量，若存在， 则对任意,成立 。 证明 记 ，令 ， 则有， 从而，有，即得， 于是成立 。 对随机变量，成立 ,。 利用在上是递增函数，可得 ， 从而成立 ； 由，， ， 得到 ， 即成立 。 切比雪夫不等式 定理2 设随机变量存在数学期望和方差,则对任意正数, 成立 , 。 例 1设随机变量存在数学期望和方差，且，则对任意， 成立 ,. 例2 设随机变量的概率密度为 ， 其中为正整数， 证明 . 证明 , , , 利用契比雪夫不等式,得 . 例 3设随机序列和随机变量，如果对某一，有， 则对任意,有 。 证明 因为 对任意，成立， 利用条件，即得成立。 例4 设随机变量的数学期望和方差均存在,且, 则有 . 证明 由契比雪夫不等式,得 ,, ,, 又, , 于是,,即. ( , , ). 第2节 大数定律 定理一(契比雪夫大数定律) 设是相互独立的随机变量序列,每一个都有有限的方差,且有公共的上界,即, 则对任意,成立 , . 定义 对于随机(变量)序列和随机变量(或常数),若对任意,有 (或) 则称随机(变量)序列依概率收敛于(或常数). (等价于)简记为(或) 推论 (辛钦大数定律)若随机变量序列独立同分布,且存在有限的数学期望和方差, ，则对任意,有 , 其中 . 定理二(贝努里大数定律 ) 设是次独立重复试验中事件发生的次数,是事件在每次试验中发生的概率, 则对任意,成立 . 例 1 设是相互独立的随机变量序列,且其分布律为 ； 记,。证明: 对任给，成立。 证明 由数学期望和方差的性质及条件,有 ， ， ，, , 对任意,由契比雪夫不等式,得 , 于是成立 。 定理 设随机(变量)序列依概率收敛于，设随机(变量)序列依概率收敛于， 则有依概率收敛于。 证明 对任意， 由 ， 利用条件，得 ， 于是，即得依概率收敛于。 第3节 中心极限定理 定理三(独立同分布的中心极限定理)设随机变量独立同分布,且存在有限的数学期望和方差 , 记,, 称为的标准化, 则对任意实数,有 . 进一步，成立在上一致收敛于。 定理四(De Moivre-Laplace定理)设是次独立重复试验中事件发生的次数,是事件在每次试验中发生的概率, 则对任意区间,成立 . 近似计算公式: 由于， 所以 。 例1 某计算机系统有120个终端,每个终端有5%的时间在使用,若各终端使用与否是相互独立的,试求有10个以上的终端在使用的概率. 解 方法一 以表示使用终端的个数, 引人随机变量 , , 则 ,由于使用与否是独立的,所以相互独立, 且都服从相同的(0—1)分布,即 于是,所求概率为 , 由中心极限定理得 . 方法二 以表示使用终端的个数,根据题意知 ,, 所求概率为 ,(查泊松分布表). 例2 用契比雪夫不等式确定当投掷一枚均匀硬币时,需投多少次,才能使出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90％ .并用德莫弗-拉普拉斯定理计算同一问题,然后进行比较. 解 用契比雪夫不等式估计,设为投掷次硬币出现正面的次数,则 , , , 由题设 , 又由契比雪夫不等式知(取), , 由,得. 用德莫弗-拉普拉斯定理估计,设为投掷次硬币出现正面的次数,则 , , , 由题设 , 即,查表得,即. 计算结果表明, 用契比雪夫不等式估计至少需要掷250次, 才能使出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率不小于0.9;而用德莫弗-拉普拉斯定理估计至少需要掷68次, 才能使出现正面的频率在0.4至0.6之间的概率不小于0.9.说明用中心极限定理计算比用契比雪夫不等式估计精确. 例3 现有一大批种子,其中良种占.现从中任选6000粒,试问在这些种子中,良种所占的比例与之误差小1%的概率是多少？ 解 设表示良种个数, 则, , 所求概率为 . 例4 设有30个电子器件,它们的使用情况如下: 损坏,接着使用; 损坏,接着使用等等.设器件的使用寿命服从参数(单位:)的指数分布.令为30个器件使用的总时数,问超过350h的概率是多少？ 解 设为 器件的使用寿命, 服从参数(单位:)的指数分布, 相互独立,, , , , 由中心极限定理得 . 例5 某单位设置一电话总机,共有200架电话分机. 设每个电话分机有5%的时间要使用外线通话,假定每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的,问总机需要安装多少条外线才能以90%的概率保证每个分机都能即时使用. 解 方法一 依题意