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.用二分法求方程的近似解
1.能否求解方程 2x=4-x 利用计算器,求2x=4-x的近似解(精确到0.1) 解:令f(x)=x3+3x-1, f(0)0,f(1)0,则解在0,1之间。 课堂小结 1.引导学生回顾二分法,明确它是一种求一元方程近似解的通法。 2.揭示算法定义,了解算法特点。 算法:如果一种计算方法对某一类问(不是个别问题)都有效,计算可以一步一步地进行,每一步都能得到惟一的结果,我们常把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的一种算法。 * * 1、函数的零点的定义: 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点 (zero point) 结论: 复习内容1: 2、零点存在判定法则 复习内容2: 问题:从百草园到三味书屋的电缆有5个接点.现 在某处发生故障,需及时修理.为了尽快把故障 缩小在两个接点之间,一般至少需要检查多少___次. 2 1 2 3 4 5 查找线路电线、水管、气管等管道线路故障 每次取中点,将区间一分为二,再经比较, 按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法, 也叫对分法,常用于: 实验设计、资料查询; 是方程求根的常用方法! 用二分法求方程的近似解 提出问题: 2.能否求出它的近似解? 3.什么方法? 4.能否找到其它的方法,使解更精确? x y 4 1 2 0 4 y=2x y=4-x 1 在同一坐标系内画函数 y=2x 与y=4-x的图象(如图) 方程有一个解x0∈(0, 4) 如果画得很准确,可得x0∈(1, 2) 解:设函数 f (x)=2x+x-4 则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -30, f (2)=20 ∴ f (x)在(0,2)内有唯一零点, ∴方程2x+x-4 =0在(0, 2)内有唯一解x0. 由f (1)= -10, f (2)=20 得:x0∈(1,2) 由f (1.5)= 0.330, f (1)=-10 得:x0∈(1,1.5) 由f (1.25)= -0.370, f (1.5)0 得:x0∈(1.25,1.5) 由f (1.375)= -0.0310, f (1.5)0 得:x0∈(1.375,1.5) 由 f (1.4375)= 0.1460, f (1.375)0 得: x0∈(1.375,1.4375) ∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4 二分法定义: 对于区间[a,b]上连续不断、且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 它是求一元方程近似解的常用方法。 二分法实质 用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。 知识运用 1利用计算器,求方程 lgx=3 - x的近似解. (精确度0.1) 解:画出y=lg x及y=3 -x的图象,观察图象得,方程lgx=3 - x有唯一解,记为x,且这个解在区间(2,3)内。 设 f (x)=lgx+x -3 因为2.5625,2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的 近似解为x1≈2.6 . 中点函数值符号 中点值 区间端点函数值符号 根所在区间 (2,3) f(2)0,f(3)0 2.5 f(2.5)0 (2.5,3) f(2.5)0,f(3)0 2.75 f(2.75)0 (2.5,2.75) f(2.5)0,f(2.75)0 2.625 f(2.625)0 (2.5,2.625) f(2.5)0,f(2.625)0 2.5625 f(2.5625)0 (2.5625,2.625) f(2.5625)0,f(2.625)0 精确度0.1,原方程的近似解为x1≈2.5625 . 2求方程x3+3x-1=0的一个近似解。(精确度0.1) 变形为x3=1-3x,画两个函数的图象 X y 1 1 0 y=x3 方程的解x0∈ (0,1) 。 中点函数值符号 中点值 区间端点函数值符号 根所在区间 (0,1) f(0)0,f(1)0 0.5 f(0.5)0 (0,0.5) (0.25,0.5) (0.25,0.375) (0.3125,0.3725) f(0)0,f(0.5)0 f(0.25)0,f(0.5)0 f(0.25)0,f(0.375)0 0.25 f(0.25)0 0.375 f(0.375)0 0.3125 f(0.3125
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