2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第6篇3-2.pptVIP

第二讲　排列与组合 重点难点 重点：排列与组合的定义、计算公式，组合数的两个性质． 难点：组合数的性质和有限制条件的排列组合问题． 知识归纳 1．排列 从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． (1)当mn时的排列称为选排列，排列数 (2)当m＝n时的排列称为全排列，排列数 规定0！＝1. 2．组合 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号 误区警示 1．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来． 2．准确恰当地进行分类，使分类后不重、不漏 3．正确区分分堆问题和分配问题 一、排列、组合问题的类型及解答策略 排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解法灵活．实践证明，备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问题的解答策略． (1)相邻元素捆绑法．在解决某几个元素必须相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列． [例1]　记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 (　　) A．1440种　　　　 　 　 B．960种 C．720种 D．480种 解析：解法1：两老人看成一个整体，进行位置排序，相当于 个位置，两老人占2、3、4、5中一个位置，其余5名志愿者任意排，即为 故选B. (2)相离问题插空法．相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”． [例2]　要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？ 解析:先将6个歌唱节目排好,其不同的排法为A 种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有A 种排法，由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为 (3)定序问题属组合．排列时，如果限定某些元素或所有元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问题． [例3]　信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是________． 解法2：定序问题属组合．五面旗占五个位置，从中选取两个位置挂白旗，其余位置则挂红旗．有C ＝10种方法． (4)定元、定位优先排．在有限制条件的排列、组合问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑． [例4]　计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有(　　)种． (　　) 解析：先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有A 种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列的方法为 (5)至多、至少间接法．含“至多”、“至少”的排列组合问题，是需要分类问题．可用间接法，即排除法，但仅适用于反面情况明确且易于计算的情况． [例5]　从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法共有(　　)种． (　　) A．140　　　B．80　　　C．70　　　D．35 解析：在被取出的3台中，若不含甲型或不含乙型的抽取方式均不合题意，故符合题意的取法有 ＝70种，选C. (6)选排问题先选后排法．对于排列组合的混合应用题，一般解法是先选(组合)后排(排列)． [例6]　四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作答)． 解析：先从四个小球中取两个放在一起，有C 种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有A 种不同的放法，据分步计数原理，共有 (7)部分符合条件淘汰法．在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求． [例7]　过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有 (　　) A．18对 B．24对 C．30对 D．36对 解析：三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C －3＝12个不同四