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第五章 大数定律 中心极限定理 二、几个常用的大数定律 一、依分布收敛 二、几个常用的中心极限定理 * * 和 中心极限定理 大数定律 蒲丰投针问题中解法的 理论依据就是大数定律 当投针次数n很大时，用针与线相交的频率m/n近似针与线相交的概率p，从而求得π的近似值. 针长L 线距a 定义: 设{Xn}为随机变量序列，a是一个常数，若对于任意?0, 有 则称{Xn}依概率收敛于a。可记为 §1 大数定律 一、依概率收敛 意思是: 当 a 时, Xn落在 内的概率越来越大。即 切比雪夫大数定律 设{Xk,k=1,2,...}为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望?，及方差?20，则 即对任何?0, 证明: 由切比雪夫不等式 这里 故 伯努里大数定律 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn=nA/n为n次试验中事件A发生的频率，则 证明: 设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 由切比雪夫大数定理： 辛钦大数定律 若{Xk,k=1,2,...}为独立同分布随机变量序列, EXk=? ?, k=1, 2, … 则 当随机变量序列X1, X2, ..., Xn,…独立同分布时, 有如下更实用的结论： 例 在掷骰子过程中，以Xn记第n次掷出的点数，在依概率收敛意义下，求 的极限。 下面我们再举一例说明大数定律的应用. 定积分的概率计算法 求 的值 我们介绍均值法，步骤是 1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, 2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N n=1,2,…,N 即 3) 用平均值近似积分值 求 的值 我们介绍均值法，步骤是 1) 产生在(0,1)上均匀分布的随机数rn, 2) 计算g(rn)， n=1,2,…,N n=1,2,…,N 即 3) 用平均值近似积分值 求 的值 应如何近似计算？请思考. 问：若求 的值 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一： 它是随机现象统计规律的具体表现. 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用. 平均结果的稳定性 定义 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x)。若在F(x)的连续点，有 则称{Xn}依分布收敛于X。记为 §2 中心极限定理 若随机变量序列{Xn}之和 的标准化变量 则称随机变量序列{Xn}满足中心极限定理。 1、独立同分布的中心极限定理 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=??，DXk= ?2 ?，k=1, 2, …, 则{Xn}满足中心极限定理。此时有 因此，当n充分大时 其中Fn(x)为 的分布函数。 例1 将一颗骰子连掷100次，试估算点数之和大于500的概率。 解: 设Xk为第 k 次掷出的点数, k=1,2,…,100, 则 X1,…,X100独立同分布。并且 由独立同分布的中心极限定理知： 2、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量?n (n=1, 2, ...) 服从参数为n, p (0p1) 的二项分布，则 证明: 设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 由独立同分布的中心极限定理,结论即可得证。 即 例：华师学生10000名，在周一晚上去自习的概率为0.7，假设彼此自习是相互独立的，设 X为周一晚上华师学生去上自习的人数。 （1）写出X 的分布； （2）用切贝谢夫不等式估算周一晚上华师学生上自习的人数在6800~7200之间的概率的近似值； （3）用棣莫弗-拉普拉斯定理计算周一晚上华师学生上自习人数在6800~7200之间的概率的近似值。 解:（1） * * *