罗尔定理研究附推广课题论文.docVIP

本科毕业论文（设计） 题 目 罗尔定理应用和推广研究 学 院 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 年 级 2009级 学 号 222009314012019 姓 名 郑世凤 指 导 教 师 杜文久 成 绩 中 2013年 5月 12日 目录 1 罗尔定理的基本性质及应用 2 1.1 罗尔(Rolle)中值定理 2 1.2 几何意义 2 1.3 罗尔定理证明 3 1.4 在简单函数中讨论罗尔定理条件 4 1.5 利用罗尔定理证明Lagrange、Cauchy中值定理 5 1.6 利用罗尔定理解决零点问题 7 2 关于罗尔定理的进一步讨论 11 2.1 多元函数的的罗尔中值定理 11 2.2 任意区间和端点值上的罗尔定理 12 2.4 广义罗尔在高中数学中的应用 16 结语 18 参考文献： 19 致谢 19 罗尔定理应用和推广研究 郑世凤 数学与统计学院，重庆 400715 摘要：本论文探讨了罗尔定理的基本性质，并应用罗尔定理解决实际问题。同时近一步讨论罗尔定理，将其推广到更广泛的适用范围，并证明其可行性，最后运用推广的罗尔定理解决问题。 关键词：罗尔定理；性质；应用；广义罗尔定理； Rolle theorem and its application research ShifengZheng School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract: This paper discusses the basic properties of Rolles theorem,then use Rolles theorem to solve practical problems and applications. Rolles theorem further discussion at the same time, will it spread to the broader scope of application, and prove its feasibility,finally using the promotion of Rolles theorem to solve the problem. Keywords: Rolles theorem; Properties; Applications; Generalized rolles theorem; 引言 微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。 1 罗尔定理的基本性质及应用 1.1 罗尔(Rolle)中值定理 若函数满足如下条件: ⑴在闭区间上连续; ⑵在开区间内可导; ⑶,则内至少存在一点,使得 1.2 几何意义 ⑴在上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的 ⑵在开区间内可导表明曲线在每一点处有切线存在; ⑶表明曲线的割线直线平行于轴. 罗尔定理的结论的直观意义是:在内至少能找到一点.表明曲线上至少有一点的切线斜率为也就平行于轴符合罗尔定理条件的曲线至少有一条水平切线. 1.3 罗尔定理证明 根据是闭区间上连续函数的性质由极值定理得在上有最大值和最小值 ⑴如果此时在上恒为常数结论显然成立 ⑵如果由条件知两个数中至少有一个不等于端点的函数值， 不妨设证类似,那么必定在开区间内有一点使 因此有 由费马引理可知 方法 由于处最大故不论是正或负 总有 , 因此，当时 , 故由极限的保号性有 而当时， 故 综上所述及存在知，必有 1.4 在简单函数中讨论罗尔定理条件 了解了罗尔中值定理，我们便可以合理利用它的判定条件快速的判别一些中学遇到的简单函数导数的零点问题。但是要满足罗尔定