第六章微分中值定理附其应用.docVIP

第六章 微分中值定理及其应用 微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“”，虽然我们对中值“”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点： 重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性 本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一 罗尔定理与拉格朗日定理 定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设满足 (ⅰ)在上连续; (ⅱ)在内可导; (ⅲ) 则使 (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足,结论不成立. 2o , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:, 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但. (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例1 设在上可导,证明:若无实根,则最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 在内有个互不相同的零点. 将Rolle定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广泛的Lagrange中值定理. 定理6.2(拉格朗日(Lagrange中值定理)设满足 (ⅰ)在上连续; (ⅱ)在内可导 则使 (2) [分析]（图见上册教材121页图6-3） 割线AB的方程为 问题是证明,使与割线在处导数相等 即证 证 作辅助函数 注 (ⅰ)Lagrange中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线. (ⅱ)(2)式称为Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形式 另外,无论,还是, Lagrange(中值)公式都成立.此公式将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上一章中有限增量公式前进了一大步,这也是Lagrange中值定理应用更为广泛的原因之一. (ⅲ) Lagrange中值定理是Rolle中值定理的推广. (ⅳ) Lagrange中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材中首先构造辅助函数 然后验证在[上满足Rolle定理的三个条件,从而由Rolle定理推出存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下: 当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从Lagrange中值定理的几何意义出发构造辅助函数.我们也可以构造以下两个辅助函数来证明该定理. 1o 注意到(2)式成立使得 在内存在零点 在内存在零点 根据以上分析我们作辅助函数(注意这种构造辅助函数的方法是常见的). 2o 辅助函数 例3 证明对有 证 [法一]令在或上利用Lagrange中值定理可证之. [法二]令在或上利用Lagrange中值定理可证之. 推论1 若在区间上可导, ,则在上为常数. 推论2 若,都在区间上可导, 且,则在上, 与仅相差一个常数,即存在常数,使对有 推论3 (导数极限定理) 设在的某邻域内连续,在内可导,且存在,则存在,且 注 (ⅰ)由导数极限定理不难得出区间上导函数不会有第一类间断点. (ⅱ) 导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导数. 例4 证明恒等式 例5 求 的导数 解 (ⅰ)先求; (ⅱ)利用推论3(先验证在处连续)求. 二 单调函数 函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一.下面我们利用导数给出判定函数单调性的新的有效方法. 定理6.3 设在区间上可导,则 在区间上单调递增(减) 定理6.4 设在区间内可导,则在区间内严格单调递增(减)的充要条件是(ⅰ) (ⅱ)在的任何子区