抽屉原理附其应用陈梦霞.docVIP

学号： 10124090304 学年论文 题 目 ：抽屉原则及其运用 Title :Dicichlet drawer principie and the application of it 学院 理学院 专业 数学与应用数学（师范）班级 数学10-3班 学生 陈梦霞 指导教师（职称） 戴丽娜（讲师） 完成时间 2012 年 4 月 1日至 2012 年 4 月 8日 指导教师评语： 评分： 签名： 摘要 本文简述了抽屉原理普遍使用的简单形式、各种推广形式，着重阐述其在数论和离散数学、高等代数及抽象代数中的应用,及在生活中的应用，可以巧妙地解决一些复杂问题，并根据抽屉原理的不足之处引入抽屉原理的推广定理Ramsey定理. 关键词 ：抽屉原理 数论 离散数学 高等及抽象代数 Ramsey定理 引言 抽屉原理又称鸽巢原理、鞋箱原理或重叠原理，是一个十分简单又十分重要的原理.它是德国数学家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet首先发现的在数论组合论中有着广泛应用 1.抽屉原理的形式 什么是抽屉原理？先举个简单的例子说明，就是将3个球放入2个篮子里，无论怎么放，必有一个篮子中至少要放入2个球，这就是抽屉原理.或者假定一群鸽子飞回巢中，如果鸽子的数目比鸽巢多，那么一定至少有一个鸽笼里有两只或两只以上的鸽子，这也是鸽巢原理这一名称的得来. 抽屉原理简单直观，很容易理解.而这个看似简单的原理在高等数学中有着很大的用处，对于数论、离散数学、高等代数以及抽象代数中的一些复杂问题，可以利用抽屉原理巧妙的解答出来. 下面首先从抽屉原理的形式入手，然后再研究它在高等数学中的应用. 我们最常用的抽屉原理只是抽屉原理的简单形式，就是将n+1个元素或者更多的元素放入n个抽屉中，则至少有一个抽屉里放有两或两以上的中抽屉原理概种形式把多于的元素按任一确定的方式分成个集合，则一定有一个集合中含有两个或两个以上的元素. 原理2. 把个元素任意放到个集合里，则至少有一个集合里个元素，其中 原理3. 把无穷个元素按任一确定的方式分成有限个集合，则至少有一个集合中仍含无穷个元素. 卢开澄在《组合数学》（第三版）中将抽屉原理（书中称为鸽巢原理）又进行了推广[2]. 鸽巢原理：设k和n都是任意正整数，若至少有kn+1只鸽子分配在n个鸽巢中，则至少存在一个鸽巢中有至少k+1只鸽子. 推论1.有m只鸽子和n个鸽巢，则至少有一个鸽巢中有不少于+1只鸽子. 推论2.若将n(m-1)+1个球放入n个盒子里，则至少有一个盒子有m个球. 推论3.若是n个正整数，而且r=，则中至少有一个数不小于r. 另外，抽屉原理还可以用映射的形式来表示，即:设和是两个有限集，如果，那么对从到的任何满射，至少存在,,使. 2.抽屉原理在高等数学中的应用 以上的几种形式就是我们解题时常用到的抽屉原理的表示形式，接下来，在了解了抽屉原理的基本形式以及多位学者所发展的推广形式的基础上，我们通过一些比较典型的实例来说明抽屉原理在高等数学中数论、离散数学、高等代数以及抽象代数这五个方面的应用. 2.1 数论问题中的应用 例1.任意5个整数中，有其中3个整数的和为3的倍数. 证明 将整数分为形如3k、3k+1及3k+2这3类形式， 则我们可以将这3类整数看作是3个抽屉，将这5个整数看作元素放入这3个抽屉中. 由抽屉原理可知，至少存在2=[]+1个整数在同一抽屉中，即它们都是形如（3k+m）的整数，m=0,1或2. 如果有3个以上的数在同一个抽屉中，则取其中的任意三个数，它们的和是形如3（3k+m）的整数，即三者的和为3的倍数. 如果有2个整数在同一个抽屉中，则由抽屉原理知，在余下的3个数中有2个数在同一个抽屉中，余下的1个数在另一个抽屉中.在3个抽屉中各取一个数，这3个数的形式分别为3k,3k+1,3k+2,则三者的和为3（k+k+k）+3，即为3的倍数. 例2.从1,2,3，…,98中任取50个不同的数，试证：其中必有两个数，它们之差等于7. 证明 先把所给的98个数设计成49个抽屉： (1,8),(2,9)(3,10),(4,11),…(21,28),…(91,98),每个抽屉中的两个数之差为7. 从1,2,3，…,98中任取50个，就是从这49个抽屉中任取50个数，由抽屉原理1知，必有一个抽屉中要取两个数，即这50个数中必有两个数，它们之差等于7. 例3.任取6人