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第一章 极限 一、1、解：因的定义域不同，故此两函数不是同一函数； 2、解：因，故此两函数的对应关系不同，于是此两函数不是同一函数； 3、解：因，故两函数是同一函数。 二、求函数的定义域。 解：要使函数有意义，必须满足， 故函数的定义域为 三、设，求。 解： 四、求下列数列的极限： 1、； 解：当时，数列总在与之间来回摆动，不能无限趣近于一个确定的常数，故数列当时极限不存在。 2、； 解： 3、； 解： 4、； 解： 5、； 解： 6、。 解： 五、设，判断当时极限是否存在？ 解：，故当时极限不存在。 六、求下列函数的极限： 1、； 解： 2、； 解： 3、； 解： 6、； 解： 7、； 解： 8、； 解： 9、； 解：因，而为有界函数，故=0 10、； 解： 11、； 解： 12、； 解： 13、； 解： 14、； 解： 15、。 解： 七、求下列函数的间断点，并指明间断点的类型： 1、； 解：因函数为初等函数，故函数在其定义域内都是连续的，从而函数的间断点为。又因，，故为函数的第二类无穷间断点，为第一类可去间断点。 2、 ； 解：因，，故不存在。 从而此函数的间断点为且为第一类跳跃间断点。 3、； 解：因不存在，故此函数的间断点为，且为第二类间断点。 4、 。 解：因，故此函数的间断点为，且为第一类跳跃间断点。 八、当为何值时，函数为连续函数。 解：因函数为连续函数，故函数在连续，从而 ， ，于是 九、证明方程在区间内至少有一根。 证明：设，显然函数在区间连续，因， ，故由零点定理知函数在区间内至少存在一点 ，使，所以即为方程的一根，从而方程在区间内至少有一根。 第二章 导 数 一、证明函数在点可导。 证明：， ，故，即函数在点可导。 二、曲线上哪一点处的切线与直线平行？ 解：因，设曲线上点处的切线与直线平行，而平行则斜率相等，故，从而，将代人得，所以曲线上点处的切线与直线平行 三、讨论函数的连续性和可导性。 解：因，而，故函数在连续， 又因 故函数在不可导。 四、求下列函数的导数： 1、在点处的导数； 解：，故 2、； 解： 3、； 解：因，故 4、； 解： 5、； 解： 6、； 解： 7、 ； 解： 8、 解： 9、； 解： 10、； 解： 11、 ； 解：因，故 12、。 解： 五、求下列函数的二阶导数： 1、； 解：， 2、； 解：， 3、 。 解：， 六、求下列函数的导数： 1、由方程确定的隐函数的导数； 解：对方程两边求关于的导数，得 2、； 解：两边取对数，得，再对上式两边求关于的导数，得 3、 ； 解：两边取对数，得，再对上式两边求关于的导数，得，所以 。 4、 ， ； 解：两边取对数，得，再对上式两边求关于的导数，得 5、由方程确定的隐函数的导数； 解：对方程两边求关于的导数，得，故 6、由方程确定的隐函数的导数； 解：对方程两边求关于的导数，得，故 7、由方程确定的隐函数的导数； 解：对方程两边求关于的导数，得 七、求下列由参数方程所确定的函数的导数： 1、 ； 解： 2、，求当的导数。 解：，故 八、求下列函数的微分。 1、； 解：，故 2、； 解：，故 3、 。 解：，故 第三章 导数的应用自测题答案 一、填空题（本题共6小题，把答案填在题中的横线上）。 １、。 ２、 ３、。 ４、。 ５、。 6、。 二、用洛必达法则求下列极限。 1、 2、 解：原式= 解：原式= = 3、 4、 解：原式= 解：原式= 三、求下列函数的单调区间。 1、．　　　　 解：∵ ∴在区间内单增；在内单减。 2、 解：∵ ∴在区间内单增；在内单减。 四、处有极大值。 解：， 由题意得： 五、证明题； 1、当时， 证：令, ∵ 则 ∴当时,单增。 ∴ 又∵ ∴ 2、证明：当。 证：令, ∵ 则 ∴当时,单增。 ∴当 六、求函数的渐进线 ∵= ∴为水平渐近线。 ∵= ∴是垂直渐近线。 七、某商行能以5%的年利率借得贷款，然后它又将此贷款给顾客，若它能贷出的款额与它贷出的年利率的平方成反比，问年利率为多少时贷出能使商行获利最大？ 解：令为年利率，则贷出款额为，获利为： 令 则 答：年利率为时贷出能使商行获利最大。 第四章 不定积分自测题答案 一、填空题（本题共9小题，把答案填在题中的横线上）。 1、。 2、；。 3、。 4、。 5、无限多；常数。 6、 。 7、。 8、。 9、 。 二、计