下册第五章第5-7节角平分线的性质;等腰三角形;等边三角形.docVIP

年 级 初一 学 科 数学 版 本 湘教版 内容标题 角平分线的性质、等腰三角形、等边三角形 编稿老师 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 角平分线的性质、等腰三角形、等边三角形 教学目标： 1. 掌握角平分线定义，角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在直线，掌握角平分线的性质，并能运用它解决有关问题，掌握三角形内心的性质。 2. 了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质。 3. 能熟练运用等腰三角形的性质求角。 4. 能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否是等腰三角形。 5. 了解等边三角形的有关概念，掌握等边三角形的性质。 6. 熟练运用等边三角形的性质。 7. 能利用一个三角形是等边三角形的条件，判断某三角形是否是等边三角形。 8. 探索图形的特征，体验数学研究与发现的过程，培养用数学说理的习惯。 二. 重点、难点： 重点：角平分线的性质与应用，利用等腰三角形的性质进行计算与推理，等腰三角形的判定，等边三角形的性质，等边三角形的性质与判定的运用。 难点：角平分线的性质运用，等腰三角形的边与角没有指明具体情况时往往要分底边、腰与底角、顶角的两种情况讨论解题，等腰三角形与等边三角形的判定。 知识要点： 1. 角平分线定义 把一个角分成两个相等的角的射线叫作角的平分线。 2. 角平分线的性质 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 3. 角平分线性质的应用 三角形两内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等。 说明：三角形三个角的平分线交于一点，这点叫三角形的内心，三角形内心到三角形三边距离相等。 4. 等腰三角形的有关概念 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边都叫作腰，另一边叫作底。两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。 5. 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线与底边上的高互相重合，简称“三线合一”。 （2）等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线（或底边上的中线或底边上的高线）所在的直线或底边上的垂直平分线都是它的对称轴。 （3）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 6. 等腰三角形的判定 （1）有两条边相等的三角形是等腰三角形 （2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”） 7. 等边三角形的概念 三边相等的三角形叫等边三角形，又叫正三角形。 8. 等边三角形的性质 （1）等边三角形各个内角都相等，并且每一个内角为60°。 （2）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，是每一边上的垂直平分线。 9. 等边三角形的判定 （1）有三条边相等的三角形是等边三角形 （2）三个角都是60°的三角形是等边三角形 （3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 【典型例题】 例1. 如图1，△ABC中，BE是△ABC的角平分线，且DE//BC，试证明△DBE为等腰三角形。 分析：证明△DBE为等腰三角形，则要证△DBE中有角相等，边相等，而由已知BE为△ABC的平分线则产生角相等，由平行也可产生角相等，因此可由已知推出角相等，得到边相等。 证明：∵BE为△ABC的角平分线 ∴∠DBE＝∠EBC 又∵DE//BC ∴∠DEB＝∠EBC ∴∠DEB＝∠DBE ∴DB＝DE ∴△DBE为等腰三角形 例2. 直线AB、CD、EF表示三条相互交叉的公路，如图2所示，现要建一个中转站，使它到三条公路的距离相等，在图中画出符合条件的中转站的位置。 分析：设它们的交点为L、M、N，如图所示： 中转站的位置可在△LMN内，也可在△LMN外，根据已知要求中转站在每两条公路交角的平分线上。 作法： 1. 作∠MLN与∠MNL的平分线LH与NG，它们交于点O1 2. 作∠ALM与∠LMF的平分线交于O2 3. 作∠CLN与∠ENL的平分线交于O3 4. 作∠BNM与∠NMD的平分线交于O4 5. 图中O1，O2，O3，O4都可设为中转站 例3. （1）已知等腰三角形有一个内角为80°，求其他两个内角的度数。 （2）已知等腰三角形有一个内角等于100°，求其他两个内角的度数。 分析：求等腰三角形的角，没指出是底角还是顶角，先判定它可能是什么角，该讨论的要讨论。 解：（1）当80°的角为顶角时，其余二个角的大小相等，都为底角，都为： 当