近世代数第一章.pptVIP

第一章 基本概念;1.1 集合1.2 映射与变换; 在很多课程中都学过有关集合的知识，一些基本的概念和结论不再重复，这里，只复习一下不太熟悉的知识，并在符号上做一 个统一的规定。; A B表示A不是B的子集 A B表示A不是B的真子集 A=B A B且B A 3.如果集合A含有无穷多个元素，则记为|A|= ∞ ,如果A含有n个元素，则记为 =n 。（A的阶），有|A∪B|+ |B∪A| = |A| + |B| 4.称集合A-B={a| a A, a B}为集合A与B的差集。易知有A-B=A∩B 5.集合A有很多子集，将A的所有子集放在一起（包括空集）也组成一个集合，称为A的幂集，记作P(A)。|P(A)| = 2 ∧n（ |A| =n） ; 映射是函数的推广，函数的定义中要求有两个数集，而映射中，是一般的集合 6.定义：设A,B是两个集合，如果有一个法则 φ ，他对于A中每个元素，在B中都有一个唯一确定的元素y与它对应，则称 φ 为从A到B的映射。这种关系常表示为 φ ：A → B 或 φ ：x → y或y= φ（x） x → y 且称y为x在 φ 之下的像，称x为y在 φ 之下的原像或逆像。; 由定义可知，映射必须满足三个条件： ① A中每个元素都有像， ② A中元素的像是唯一的， ③ A中元素的像在B里。 例：P6例1-6 例1.不是映射，不满足① 例2.不是映射，不满足② 例3.不是映射，不满足③ 例4.是映射，不单不满 例4.是映射，不单，满 例6.是映射，单不满; 例：P7，例 4-8 例7，双射， 例8，满射，不单。 8.设有映射 φ ：A → B，B A， B.用 φ（A1 ）表示A1 中所有元素在 φ 之下的像的全体组成的集合，称为 A1 在 φ 之下的像，φ （A1 ） B。用 φ﹣1 （ B1）表示B1 中所有元素在 φ 之下的逆像全体组成的集合，称为 B1 在 φ﹣1 之下的逆像， φ﹣1（B1 ） A。 易知：φ 是满射 φ（A）= B.;9.设：φ: A → B是双射，（思考，为什么？），则 φ﹣1 ：B → A 也是一个映射,且为双射（为什么？）， x → y= φ (x) y → x 称 φ﹣1 为 φ 的逆映射。 注意：双射才有逆映射。 定理：设A,B是两个有限集合，且 |A| = |B| ， φ 是A到B的一个映射，则 ??是单射 φ是满射 φ 是双射 证明：略。 ;7.映射是函数概念的推广，是对应法则，A是定义域，B包含值域，根据B是否与值域相等，可将映射区分为是否是满射。A中不同元素的像可能相同，也可能不同，据此可区分映射是否为单射。 定义：设为A到B的一个映射，如果B中每个元素在A中都有逆像，则称为A到B的一个满射。如果A 中不同的元素在B中的像也不同，则称是从A到B的一个单射。如果既是满射又是单射，则称是从A到B的一个双射，或一一映射。; 10.设б与 τ 都是A到B的映射，如果 x A,都有б（x）=τ (x),则称б与τ 相等，记作б=τ 11.设 τ ：A → B б：β → C 则 A → τ β →σ C x →τ (x) y → τ (y)， x → τ (x) →σ （τ (x)） 是一个A到C的映射，记为στ ，即 στ ：A → C 并称 στ 为 σ 与 τ 的合成或乘积。 x →σ（τ(x)）;12.集合A 到自身的映射，叫做集合A的一个变换，类似可定义单变换，满变换，双射变换（一一变换）等。 将集合A每个元素映为自身的变换，称为A的恒等变换，φ ：A → B 它是一个一 一变换。 x → x， 例：P9例9-10 定理：含有n个元素的集合共有n!个双射变换。; 有限集合M={1,2， n}的双射变换 称为一个n之置换，且常表示为 φ =｛1