2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的作用 1.3.2 极大值与极小值（一）学案 苏教版选修2-2.docVIP

PAGE  PAGE 3 极大值与极小值(1) 　 教学过程 一、 问题情境 　(图1) 观察给定函数图象,在P和Q两侧图象的单调性变化: P点处从左侧到右侧由上升变为下降(函数由单调递增变为单调递减),这时在点P附近,点P的位置最高; Q点处从左侧到右侧由下降变为上升(函数由单调递减变为单调递增),这时在点Q附近,点Q的位置最低.[1] 二、 数学建构 问题1　上述的结论如果用数学语言该怎样来描述?[2]　 解　1. 极大值点:已知函数f(x),设x1是定义域内一点,如果在x1附近的所有的x,都有f(x)f(x1),就说函数f(x)在x1处取得极大值,把x1称为f(x)的一个极大值点; 极小值点:已知函数f(x),设x2是定义域内一点,如果在x2附近的所有的x,都有f(x)f(x2),就说函数f(x)在x2处取得极小值,把x2称为f(x)的一个极小值点. 2. 极大值:称f(x1)为函数f(x)的一个极大值; 极小值:称f(x2)为函数f(x)的一个极小值. 极大值与极小值统称为极值. 问题2　在定义域内,函数的极大值是唯一的吗?函数的极大值一定大于其极小值吗? 函数的极值点可能在区间的端点产生吗?试作图说明.[3] 问题3　极值点处导数有何特点?当f(x0)=0时,能否肯定函数f(x)在x0处取得极值?[4] 问题4　函数的极值与函数的导数有怎样的关系?[5] 3. 函数极值与导数关系: 如果f(x0)=0,且在x0的附近的左侧f(x0)0,右侧f(x0)0,那么f(x0)是极大值;如果f(x0)=0,且在x0的附近的左侧f(x0)0,右侧f(x0)0,那么f(x0)是极小值. 表1 xx1左侧x1x1右侧 f(x)f(x)0f(x)=0f(x)0 f(x)增↗极大值f(x1)↘减 表2 xx2左侧x2x2右侧 f(x)f(x)0f(x)=0f(x)0 f(x)↘减极小值f(x2)增↗ 　　概念理解 1. 取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值. 2. 极值是一个局部的概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. 3. 函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. 4. 极大值与极小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值. 5. 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点既可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 三、 数学运用 【例1】　(教材第31页例1)求f(x)=x2-x-2的极值.(见学生用书P19) [规范板书]　解　f(x)=2x-1,令f(x)=0,解得x=. 列表如下: x 左侧右侧 f(x)-0+ f(x)↘极小值f↗ 　　所以当x=时,f(x)有极小值f=-. [题后反思]　求极值的具体步骤:(1) 求导数f(x);(2) 求f(x)=0的根;(3) 列表,检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右都是正,或者左右都是负,那么f(x)在这个根处无极值. 【例2】　(教材第31页例2)求f(x)=x3-4x+的极值.(见学生用书P20) [处理建议]　让学生学会纵向看图,并体会在相应的区间上,导数的正负与函数增减的关系,体现数形结合思想. [规范板书]　解　f(x)=x2-4,令f(x)=0,解得x1=-2,x2=2. 列表如下: x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞) f(x)+0-0+ f(x)↗极大值 f(-2)↘极小值 f(2)↗ 　　所以当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=;当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-5. 思考:你能画出函数及其导数的图象吗?[6] [题后反思]　有效利用图形语言,对照在相同的区间上函数及其导函数的图象,体会导数与函数单调性的关系,并强调书写格式. 【例3】　已知函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值,求a的取值范围.(见学生用书P20) [处理建议]　先由学生思考后交流思路,采用数形结合的方法,帮助学生理解. [规范板书]　解　f(x)=3x2+2ax-a+1,函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值,即f(x)=0有两个不同的实数解,则Δ=4a2+12(a-1)0,解得a或a. *【例4】　(教材第31页练习3)根据下列条件大致作出函数f(x)的图象. (1)