考接研基础数学讲义导数与微分.pptVIP

* 解: 关键: 搞清函数的运算结构 ,对复合函数应由外向内逐层求导. 求导次序：先加减后乘除，再用锁链法则. 题型5：求各类函数的导数及微分 例12 求下列函数的导数 解: * 解： 幂指函数 的求导方法有两种： 方法1： 对数求导法 然后用隐函数求导法求导. 方法2： 利用复合函数求导法 变形为 然后用复合函数求导法求导. * 由参数方程所确定的导数的求导法： 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 关系, 法1:由复合函数及反函数的求导法则得 即 法2:由微商及微分的计算求导. ? 已知 注意 : 对谁求导? 例13. * 例13. 解： 求导小技巧：先变形再求导 * 单值可导隐函数 并求 在点(0,0)某邻域 可确定一个 所给方程两边微分： 微分法： * 解：方程两边对 x 求导： 直接求导法： 令 x = 0 , 注意此时 上式两边对 x 求导： 小技巧 单值可导隐函数 并求 在点(0,0)某邻域 可确定一个 (12年研,答案：1) * 隐函数直接求导法: 直接对方程两边对 求导, 把含有 的项看成是 的 提示： 两边取对数 对数求导法 : 该法适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数. 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 复合函数. * 例15. 设 试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求 解： 得可导必连续 * 注意：分段函数求导时,分界点处的导数用左右导数的定义求.其他点处的导数用公式和法则求. * 例16. 解: 例17. 设 解: 注意区分符号： * 题型6：导数的应用 例19. 解： 对方程分别对t求导得 所求切线方程为: * 例20. 解： 方程两边分别对x求导得 则 * 练习： * 一、 导数和微分的概念及应用 二、 导数和微分的求法 导数与微分 * 一、 导数和微分的概念及应用 ★导数： ★微分: ★可导与可微的概念： 可导 存在. 可微 其中A是与 无关的常数. 特点是：“分子一定一动，分母有左有右” 分子是函数值之差， 分母是相应的自变量之差，分母趋于零的极限. 能 * ★导数与微分的区别与联系 联系: 区别：可从定义式子；实质；几何意义三方面考察. ? 是函数相对于自变量的变化率. ? (dy 是△y 线性主部). * ★可导与可微的区别与联系: 区别：可从定义式子；几何意义两方面考察. 可导 存在. 可导 一定有切线 且切线不垂直于x轴. 以直代曲 当 很小时， 在点M的附近， 可用切线段近似地代替曲线段. 可微 联系： 可微必可导，可导必可微. 可微 其中A是与 无关的常数. 能 * ★ 几个定理 定理1. 定理2. 定理3. 在 处可导 在 处连续 在 处的极限一定存在， 即 存在. 在 可微 可微 可导 连续 有极限 有定义 在点 可微 在点 处可导 * 思考： * (1) 利用导数定义解决的问题 (2) 用导数可求切线与法线的方程 4）用导数定义求极限； 2) 求分段函数在分界点处的导数 , 及某些特殊 函数在特殊点处的导数; 3) 由导数定义证明一些命题； 1) 利用导数的定义求函数在某点处的导数； 用导数可求变速直线运动的速度与加速度 5）判断函数在某一点的可导性. ★应用 : * 1)几何应用： ★几何意义： 是y=f(x)在点 ★切线、法线的方程： 切线的方程： 法线的方程： 2)物理应用： 瞬时速度： 瞬时加速度： 处切线的斜率. * 解: 原式= 题型1：已知导数求极限 例1. * * 例2.设 ,讨论 在 处的可导性, 并求 解: 不存在 不连续，从而不可导. 但是 * 解: 原式 = 且 联想到凑导数的定义式 例3. * 例4. 解: 题型2：已知极限求导数 * 处可导的一个充分条件是（ ） 练习: * 题型3：利用导数的定义求函数在某点的导数 提示：以下情况必须用导数的定义求导数 1)求分段函数在分界点处的导数时； 2)不符合求导法则的条件时； 3)表达式中的抽象函数的可导性未知时就不能盲目的用求导法则. 例5. 解: 注意：可导 可导=可导；可导 不可导就不一定可导. 注意：可导 可导=可导；可导 不可导就一定不可导. * 例6. 解: 分析: 不能用公式求导. 求左右极限 * 可导 例7. 解: 注意：求导法则的成立是有条件的. * 设 解:因为 又 例8. 注： 判断可导性的方法 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. * 例9. 分析: 又 * 解: 方法1 利