天津科技大学线性代数试题库1.docVIP

题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总成绩 得分 阅卷人 复核人 得分 一、填空题（共15分，每小题3分） 1. 行列式的值为. (难度系数00.1) 2. 若某行列式中元素6的代数余子式的值为. (难度系数00.1) 3. 设矩阵，，则. (难度系数00.1) 4. 设矩阵，，则. (难度系数00.1) 5. 设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是，则齐次线性方程组有 非零 解. (难度系数00.2) 得分 二、选择题（共15分，每小题3分） 1. 设矩阵，则的秩为( D ). (A) 3； (B) 2； (C) 4； (D) 1.(难度系数00.1 2. 设阶的秩为，则的伴随矩阵（ D ）. (A) ； (B) ； (C) ； (D) .(难度系数00.3) 2. 设4阶方阵的行列式，则（ B ）. (A) 1； (B) ； (C) 16； (D) 32. (难度系数00.1) 3. 设为维标准正交列向量组，则 ( C ). (A) 1； (B) ； (C) 1或； (D) .(难度系数00.1) 4. 设向量，，则内积（ A ）. (A) 2；(B) 0；(C) ；(D) 1. (难度系数00.1) 得分 三、（8分）求矩阵的逆矩阵： .(难度系数00.1) 解：，故可逆(3分)。 由对角阵的性质 （5分）知， （8分）。 得分 四、（10分）四、求解非齐次线性方程组. (难度系数0.2) 解： (4分) 对应的方程组为： （7分） 由此得方程组的通解为， （10分）。 得分 五（10分）求向量组 ，，，的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示. (难度系数0.2) 解：对进行初等行变换，得 （5分） 于是向量组的秩为，（6分）它的一个极大无关组为，（8分）且有 ，(10分). 得分 六、（10分）将向量组，，标准正交化. (难度系数00.2) 解：因为，，所以只需将正交化，再标准化即可，设，（3分） （4分）， （6分） 单位化，得 （8分）， （10分）。 得分 七、（共15分）设矩阵，(难度系数00.3) (1)求矩阵的特征值与特征向量(8分)； (2)求正交矩阵，使得为对角矩阵(7分)； 解：(1)，特征值，（2分） 对，求解方程组：，得到基础解系为（4分），故矩阵的属于特征值的全部特征向量为()（5分）； 对，求解方程组：，得到基础解系为（7分），故矩阵的属于特征值的全部特征向量为(（8分）. (2) 将向量单位化，得，（11分），令（13分），则为正交矩阵，且（15分）. 得分 八、（10分）设是线性无关的一组向量，证明向量组也线性无关. (难度系数00.4) 证明：设（2分），于是 （4分），因为线性无关知，(6分）容易解得（8分），故也线性无关（10分）。 得分 九、（7分）设维4阶方阵，，证明：伴随矩阵的秩为1. (难度系数00.6) 证明：因为，所以（2分） 由于 （5分） 所以（6分）又，所以伴随矩阵的秩是1 （7分）。 年级：2011 专业：工科、经济各专业 课程号：1101181006 2011-2012学年第二学期本科试卷 课程名称:线性代数(A） 第 4 页 （共 6 页） 第 1 页 （共 5 页） 学 院: 专 业: 学号: 姓名: ―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线―――――――――――――― 学院