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数形结合在初中数学中的应用举例 东坑中学 黄凤玲 【摘要】 数形结合是数形渗透，由“数到形”，再由“形到数”的相互转化中求解的一种数学思想和方法。它能使复杂问题简单化，抽象问题直观化，是初中数学中常见的解题思想和方法，是一种有效的解题策略。本文结合初中数学教学的内容及例题分析，剖析数形结合在初中数学中的应用。 【关键词】 数形结合 思想方法 例题应用 数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学语言表达事物的状态、关系的过程，经过推导、运算的分析，以形成解释、判断和预言的的方法。加强数学思想方法的教学能优化课堂教学，有利于把握好能力目标的发展点，培养学生的创新意识，进而提高学生的数学素质。 数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。“以形助数”和“以数辅形”是其两个方面。应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形作为目的。 初中数学中，实现数形结合，常以下列内容有关：①数轴上的点与实数的对应关系；②函数与图像的关系；③所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；④方程（组）与不等式（组），平面几何等。 1 以形助数，直观易懂 “形”具有形象、直观、简洁明快的特点，能表达具体思维，起着解决问题的关键。对部分比较抽象的数学内容，数量难以把握，这就需要我们把与数量关系相对应的图形找出来，利用图形来解决问题。 1.1 “以形助数”在教学中的应用 1.1.1 理解绝对值的意义 分析与思考：所谓绝对值 在数轴上,一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。 ②到原点距离是2的数有 ； 则= ③到原点距离是3的数有 ； 则= ④到原点距离是0的数有 . 则= 结论：①一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；0的绝对值是 。 则： ②任何一个有理数的绝对值都是 （选填“正数”，“负数”，“0”，“正数或0”） 则 0 （选填：“≤，≥，＜，＞”）。 1.1.2 理解余角的性质：同角（或等角）的余角相等 分析与思考：初中几何中三角形的全等问题、相似问题中，经常出现用“同角（或等角）的余角相等”证明角相等。能正确灵活运用此知识点，对顺利解题起关键的作用。借助数形结合思想可帮助学生熟知并会运用这知识。 导学过程：如图2 ①已知与互余，，则 = °； 已知与互余，，则 = °； 显然， （填“=”或“≠” ）。 ②已知与互余，， 则 = °； 已知与互余，， 则 = °； 显然， （填“=”或“≠” ）。 ③已知与互余，，则 = °； 已知与互余，，则 = °； 显然， （填“=”或“≠” ）。 ④已知与互余，则 ； 已知与互余，则 ； 如果，显然， （填“=”或“≠” ）。 结论：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等。 简单地说：等角的余角 。 ⑤观察图3，填空 °（90°） 即与互为 角； °（90°） 即与互为 角； 所以 （填“=”或“≠” ）。 结论：如果两个角的余角是同一个角，那么这两个角相等。 简单地说：同角的余角 。 综合得出余角的性质：同角（或等角）的余角相等. ⑥“同角（或等角）的余角相等”图例 1.1.3 理解非完全平方数的算术平方根和平方根. 分析与思考：对于求完全平方数的算术平方根，学生容易理解。如由算术平方根的定义：已知，则4是16的算术平方根；而对于非完全平方根的算术平方根的求法（如2的算术平方根是），学生不容易理解，是教学的难点。通过数形结合的数学方法，能取得不错的效果。 例1.1 求2的算术平方根. 导学过程：通过拼正方形的方法：把两个面积为1的正方形分别沿对角线剪开， 将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形。 如图8。 分析：利用图8，让学生感受到， 的确存在一个正数的平方数 是等于2。 解：设大正方形的边长为， 则由算术平方根的定义可知： ， 类似问题，如求3、5、7等非完全平方数的算术平方根和平方根，就迎刃而解。 拓展：推导公式 由例1可知，面积为2的正方形的边长是； 结合正方形面积计算方法得：，则。 图形表示如图9 类似地， 面积为3的正方形的边长是，则； 面积为5的正方形的边长是，则； 面积为7的正方形的边长是，则； ﹍﹍ 面积为＞0)正方形的边长是，则； 1.1.4 掌握不等式（组