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高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(20-13):组合模型(535) 1357 组合模型 [母题]Ⅰ(20-13):(2009年辽宁高考试题)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有( ) (A)70种 (B)80种 (C)100种 (D)140种 [解析]:3名医生的可能组成可分:①二男一女:C52C41=40;②一男二女:C51C42=30共有40+30=70.故选(A). [点评]:组合的基本模型是:从含有n个元素的集合中,抽取k个元素,有Cnk种方法;常见模型有:①分步抽取;②分类抽取;组合问题的最大特点,也是区别于排列问题的标志是:选出的元素无顺序.组合与排列的联系是:排列数除序数得组合数. [子题](1):(2011年大纲高考试题)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门,则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( ) (A)12种 (B)24种 (C)30种 (D)36种 [解析]:分步抽取:①先从4人中选2人选修课程甲,有C42种;②余下的2人从乙、丙3门课程中选修1门,每人均有2种, 2人有4种共有C42×4=24.故选(B). 注:本题是典型的分步抽取模型:从含有n(n≥m+k)个元素的集合中,分别抽取m、k个元素的不同取法数是CnmCn-mk. [子题](2):(1983年全国高考试题)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要从小组内选出3名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法. [解析]:(直接法)3名代表中至少有1名女同学可分为三种情况:①恰有1名女同学,有C41C62种;②恰有2名女同学,有C42C61种;③3名全是女同学,有C43种共有C41C62+C42C61+C43=100种选法. (间接法)从10人中选3人,有C103=120种方法,其中3名全是男同学,有C63=20种至少有1名女同学共有C103-C63=100种选法. 注:本题是典型的分类抽取模型:从含有n个元素的集合A和含有m个元素的集合B中,抽取k个元素,其中A、B中至少有一个元素,则不同的取法数是Cn+mk-(Cnk+Cmk).此类问题一般有直接和间接两种解法. [子题](3):(2012年陕西高考试题)两人进行乒乓球比赛,先赢三局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( ) (A)10种 (B)15种 (C)20种 (D)30种 [解析]:甲赢和乙赢的可能情况是一样的,甲赢的情况如下:①若比赛3场,则甲全赢,有1种;②若两人进行4场比赛,第4场比赛必为甲赢,前3场任选一场乙赢,有C31=3种情况;③若两人进行5场比赛,第5场比赛必为甲赢,前4场任选二场乙赢,有C42=6种情况甲赢有1+3+6=10种,同理乙赢有10种共有20种.故选(C). 注:本题按甲赢的情况进行分类,分类后的问题等价于乙在前k-1场中(k是比赛场数)赢k-3场又等价于从含有k-1个元素的集合中,抽取k-3个元素的问题,是组合模型应用的典例. [子题系列]: 1.(2013年大纲高考试题)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有 种(用数字作答). 2.(2014年大纲高考试题)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) (A)60种 (B)70种 (C)75种 (D)150种 3.(2007年全国Ⅰ高考试题)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 种(用数字作答). 4.(2007年全国Ⅰ高考试题)甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有(