工程数学-积分变换（张元林）课后习题讲解1-2.docVIP

1-2 1．求矩形脉冲函数的Fourier变换. 解： 2.设是函数的Fourier变换，证明与有相同的奇偶性. 证明：与是一个Fourier变换对，即 ， 如果为奇函数，即，则 （令） （换积分变量为） 所以亦为奇函数. 如果为奇函数，即，则 （令） （换积分变量为） 所以亦为奇函数. 同理可证与同为偶函数. 4．求函数的Fourier正弦变换，并推证 解：由Fourier正弦变换公式，有 由Fourier正弦逆变换公式，有 由此，当时，可得 5．设，试证明： 1）为实值函数的充要条件是； 2）为虚值函数的充要条件是. 证明： 在一般情况下，记其中和均为的实值函数，且分别为的实部与虚部. 因此 其中， 1）若为的实值函数，即.此时，式和式分别为 所以 反之，若已知，则有 此即表明的实部是关于的偶函数；的虚部是关于的奇函数.因此，必定有 亦即表明为的实值函数.从而结论1）获证. 2）若为的虚值函数，即.此时，式和式分别为 所以 反之，若已知，则有 此即表明的实部是关于的奇函数；的虚部是关于的偶函数.因此，必定有 ， 亦即表明为的虚值函数.从而结论2）获证. 6.已知某函数的Fourier变换，求该函数. 解：为连续的偶函数，由公式有 但由于当时 当时 当时，所以得 7．已知某函数的Fourier变换为，求该函数. 解：由函数，易知 8．求符号函数（又称正负号函数）的Fourier变换. 解：容易看出，而 9．求函数的Fourier变换. 解 ： . 10 .求函数的Fourier变换. 解: 已知 由有 11.求函数的Fourier变换. 解:已知,由 即得 12.求函数的Fourier变换. 解: 由于 故. 14.证明：若，其中为一实数，则 其中为的共轭函数. 证明：因为 同理可证另一等式. 17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）. 解 ：