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§9-2 卡氏定理 一、卡氏第一定理 而 由 卡氏第一定理 卡氏第一定理 卡氏第一定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上及某一荷载相应的位移之变化率，就等于该荷载的数值。 解： 梁内任一点的线应变为 梁纯弯曲，挠曲线为圆弧 于是(1)式改写为 梁内任一点处的比能 梁的应变能 由卡氏第一定理 二、卡氏第二定理 而 由 (1) (2) (3) (4) 卡氏第二定理 将(2)、(3)代入(4), 余能定理 对线弹性杆件， 故有 卡氏第二定理：弹性杆件的应变能U对于杆件上某一荷载之变化率，就等于及该荷载相应的位移。 用卡氏定理的注意事项 ①U——整体结构在外载作用下的线 弹性变形能 ② Pi 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pi的函数 ③ i为 Pi 作用点的沿 Pi 方向的变形。 ④ 当无及 i对应的 Pi 时，先加一沿 i 方向的 Pi ，求偏导后， 再令其为零。 三、线弹性变形杆的卡氏定理 例5 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。 ③变形 ①求内力 解：求挠度，建坐标系 ②将内力对PA求偏导 A L P EI （向下） 求转角A。 ①求内力 没有及A向相对应的力（广义力），加之。 “负号”说明 A及所加广义力MA反向。 ②将内力对MA求偏导后，令M A=0 ③求变形（ 注意：M A=0） L x O A P M 例5 结构如图，用卡氏定理求梁的挠曲线。 解：求挠曲线——任意点的挠度 w(x) ①求内力 ②将内力对Px 求偏导后，令Px=0 没有及w(x)相对应的力，加之。 P A L x C ③变形（ 注意：Px=0） 例6 等截面梁如图，用卡氏定理求B 点的挠度。 ② 求内力 ③ 将内力对RC求偏导 ① 取静定基如图 卡氏定理解超静定结构 ④ 变形 能量法求解超静定结构，适用任意荷载作用下、线性或非线性弹性杆系、刚架或曲杆等超静定系统。 变形协调条件 2.求 ② 将内力对P求偏导 ① 求内力 ③ 变形 （向下）